【高校数学】ベクトルの加法・減法・実数倍【ベクトル】

ベクトルは、向きと大きさをもつ量だということを前回学んだ。ここでは、ベクトルの加法・減法・実数倍について学習していきます。

ベクトルの加法

ベルトル\(\overrightarrow{a} \)に対して、点Aを取り，\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB} \)となるように点Bを取る。また\( \overrightarrow{b} \)に対して，\( \overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC} \)となるように点Cをとる。このとき，\(\overrightarrow{AC} \)を\(\overrightarrow{a} \)と\( \overrightarrow{b} \)の和といい、\( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} \)とあらわします。つまり，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \)が成り立ちます。

上では、三角形を使ってベクトルの和を図示しましたが、平行四辺形を使って話を図示することもできます。

上の図の平行四辺形ABCDにおいて、\( \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC} \)であるので、図からわかるように、次のことが成立する。\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AC} \)

結合法則が成立することより、\( (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} )+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} )\)は等しいので、かっこを省略して、単に\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \)と書くことができます。

ベクトルの減法

ベクトル\( \overrightarrow{a} \)，\( \overrightarrow{b} \)に対して，\(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a} \)を満たすベクトル\( \overrightarrow{c} \)を\( \overrightarrow{a} \)と\( \overrightarrow{b} \)の差といい、\(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \)と書きます。

一般に、\( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} =\overrightarrow{OA} \)が成立するので，次のことが成立します。

\( \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{BA} \)

また，\( \overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{OA} =(-\overrightarrow{OB})+ \overrightarrow{OA} \)が成り立つので，差\(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \)は

\(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} =\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b} ) \)

のように逆ベクトルを用いて表すこともできます。

ベクトルの実数倍

実数\( k\)とベクトル\( \overrightarrow{a} \)に対して，\( \overrightarrow{a} \)の\( k\)倍のベクトル\( k \overrightarrow{a} \)を次のように定義します。

1. \( \overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0} \)のとき\(k \overrightarrow{a} \)は
   \( k>0\)ならば，\( \overrightarrow{a} \)と向きが同じで，大きさが\( k\)倍のベクトル
   \( k<0\)ならば，\( \overrightarrow{a} \)と向きが反対で，大きさが\(| k|\)倍のベクトル
   \( k=0\) ならば，\( \overrightarrow{0} \)すなわち\( 0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \)
2. \( \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0} \)のとき，任意の実数\( k\)に対して\( k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \)

ベクトルの平行

\(\overrightarrow{0} \)でない2つのベクトル\(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \)は向きが同じまたは反対のとき，平行であるといい，\( \overrightarrow{a}/ \hspace{-.08em} / \overrightarrow{b}\)と書きます。

ベクトルの平行の定義と実数倍の定義から、次のことが分かります。

ベクトルの分解

\( \overrightarrow{0} \) でないベクトル\( \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \)が平行でないとき，他のベクトルを\( k \overrightarrow{a}+ l \overrightarrow{b} \)の形で表していきます。