写像
集合\( X,\ Y\)において、\( X\)の各元\( x\)に対して\( Y\)のある元を対応させる規則が定まっているとき、\( X\)から\( Y\)への写像が定められているという。\( f\)が\( X\)から\( Y\)への写像であることを
\[f:X\rightarrow Y \]または\[ X\stackrel{f}{\to} Y\]のようにあらわす。このとき\( f\)によって\( X\)の元\( x\)に\( Y\)の元\( y\)が対応するとすれば\[f(x)=y \]または\[x\mapsto y\]と書いて、\( y\)を\( x\)の\( f\)による像といいます。
写像\( f: X\rightarrow Y\)において\( X\)を写像\( f\)の定義域または始域、Yを写像\( f\)の値域または終域といいます。
合成写像
\( f:A\rightarrow B\)、 \( g:B\rightarrow C\)を写像とする。\( A\)の元\( a\)に\( g(f(a))\)、すなわち\( a\)の\(f \)による像\( f(a)\)の\( g\)による像\(g(f(a)) \)を対応させる規則を考える。これにより、集合\( A\)から集合\( C\)への写像が得られたことになります。これを\( f\)と\( g\)の合成写像または、単に合成といい\( f\circ g\)であらわす。つまり、\[ (g\circ f)(a)=g(f(a))\ \ a \in A\]が成立します。
写像\( f:X\rightarrow Y, \ \) \( g:Y\rightarrow Z,\ \) \( h:Z\rightarrow W \)の合成写像について、以下が成立する。\[ h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f \]
pr.)
\(\forall x \)に対して、
\begin{align*} (h\circ (g\circ f))(x)&=h(g\circ f(x))\\ &=h(g(f(x)))\\ &=(h\circ g)(f(x)) \\ &=((h\circ g)\circ f)(x) \end{align*} したがって、\begin{align*} h\circ (g\circ f)&=(h\circ g)\circ f \end{align*}
単射・全射・全単射
単射
写像\( f:X\rightarrow Y, \ \)において、\[ a\ne a’ \Rightarrow f(a)\ne f(a’) \]または、対偶をとると同じことがわかるが\[ f(a)= f(a’) \Rightarrow a= a’ \]であるとき\( f\)を一対一写像または単射であるという。
全射
写像\( f:X\rightarrow Y, \ \)において、\( f(X)=Y\)であるとき、\( f\)を\( X\)から\( Y\)の上の写像または全射であるという。つまり
\( f:\)全射\(\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\) \( \forall y \in Y,\ \exists x \in X \ s.t. \ f(x)=y\)
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