\(「2 + 3=5」 \)は正しい。\(「3に4を加えると5になる」 \)は正しくない。このように正しいか正しくないかが明確に決まる文や式を命題といいます。ここでは，命題とは何かについて学習します。
命題と条件
命題
命題：
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題という。命題が正しいとき、その命題は真である、または成り立つといい、正しくないとき偽である、または、成り立たないという。正しいか正しくないか定まらない文や式は命題ではない。
例：
条件
条件：
変数xを含む文や式で、xに様々な値を代入するごとに真偽が決まる文や式をxに関する条件という。（条件を考えるとき、考える対象の全体集合をあらかじめ定めておく必要がある）
命題「\(p\rightarrow q\)」
仮定と結論
仮定・結論・\(p\rightarrow q\)：
p,qを条件とする。pならばqであるという命題を(p\Rightarrow q)とかく
このとき、pをこの命題の仮定といい、qをこの命題の結論という。
命題と集合の関係
反例
よくありがちなこのスチュエーションを思い浮かべてほしい。
”友達のみんながゲーム機を持っているよ”
子供が親におもちゃを買ってほしいときに使う常套句のようなものであるが、
親の立場としては、すぐ買ってあげるわけにはいかないのであります。
まず、これを数学の言葉に直したいと思います。
”私の友達の全体の集合をAとする”
ゲーム機を持っている人の全体の集合をBとする
”x\(\in A\)ならばx\(\in B\)”
となります。
これが正しくないと言うことを示したいときにどうしたら良いのでしょうか？
一つの方法は
友達なんだけどゲーム機を持っていない人の例を挙げることである。
例えば、あなたの友達の太郎くんはゲーム機を持っていないでしょ？
と例を挙げることである。
このことによって、
”x\( \in A \)ならばx\(\in B\)”
が正しくないといくことがわかる。
このような例をその命題に対する反例という。
これは余談だが、数学の学習を進めると新しい概念を導入することがある。
このときに、今までの考えていたものと真に違うことを示したり、違いを理解するために
このような反例があるのかを考えることは、理解を深めるために重要な考えたかであると思われるが、高校数学ではそのことが全面に押し出されることはあまりない。
必要条件と十分条件
必要条件と十分条件：
２つの条件\(\ p\ \)，\( q\ \)について，命題「\( p\rightarrow q\)」が真であるとき
\( p\ \)は\( \ q\ \)であるための十分条件である
\( q\ \)は\( \ p\ \)であるための必要条件である
という．
必要十分条件・同値：
２つの条件\(\ p\ \)，\( q\ \)について，命題「\( p\iff q\)」が真であるとき
\( p\ \)は\( \ q\ \)であるための必要十分条件である
という．このとき，
\( q\ \)は\( \ p\ \)であるための必要条件でもある．
また，\( p\ \)と\(\ q \ \)は同値であるともいう．
条件の否定とド・モルガンの法則
否定：
条件\(\ p \ \)に対して，「\( p\ \)でない」という条件を\(\ p\ \)の否定といい，\( \overline{p}\ \)で表す．\( \overline{p}\ \)を満たすもの全体の集合は，\( p\ \)を満たすもの全体の集合\( \ P \ \)の補集合\( \ \overline{P}\ \)となる．
（条件についての）ド・モルガンの法則：
\( \overline{ p \ \mathbf{かつ} \ q }\ \iff \ \overline{p}\ \mathbf{または}\ \overline{q} \)，\( \overline{ p\ \mathbf{または}\ q }\ \iff\ \overline{p}\ \mathbf{かつ}\ \overline{q} \)
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