ここまでは，直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきましたが，座標平面を用いて，三角比の考えを\( \ 0^{\circ}\ \)以上\( \ 180^{\circ} \ \)以下の角にまで拡張します。
座標を用いた三角比の定義
\( \displaystyle \sin \theta =\frac{y}{r} \ \ \ , \ \ \cos \theta =\frac{x}{r} \)
\( \displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x} \)
単位円の周上の点の座標
原点を中心とする半径1の円を単位円といいます。単位円周上で考えると，角\( \theta \ \)を表す半径を\( O
P\)，点\( P\)の座標を\( (x,y) \)とするとき，三角比の定義から
\( \displaystyle \sin \theta =y,\ \ \cos \theta =x ,\ \ \tan \theta =\frac{y}{x} \)
となる。したがって，\( 0 ^{\circ} ≦ \theta ≦ 180 ^{\circ} \)のとき
\(-1 ≦ \cos \theta ≦ 1, \ \ 0 ≦ \sin \theta ≦ 1 \)
が成り立ちます。
\(180°-\theta \)の三角比
\begin{align*} \sin (180°-\theta )&=\sin \theta \\ \\ \cos (180 ^{\circ} -\theta ) &=-\cos{\theta }\\ \\ \tan {(180 ^{\circ} – \theta)}&=-\tan{\theta } \end{align*}
三角比の等式を満たす\( \theta\)
直線の傾きと正接
\( m=\tan \theta\)
【注意】\( m=0\ \)のときは，\(\ \theta =0 ^{\circ} \ \) とすると，この場合も\( \ m=\tan \theta\ \)が成立します。
三角比の相互関係
\( \displaystyle \tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}} \ ,\ \ \ \ \sin ^{2} A + \cos ^{2} A=1\ \ ,\)
\( \displaystyle 1 + \tan ^{2} {A}=\frac{1}{\cos ^{2} A} \)
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