ここでは、直線上や円上の位置ベクトルを考えることで、図形をベクトルで表示することを学習します。
ベクトル\(\overrightarrow{d} \)に平行な直線
異なる2点\( A,\ B\)を通る直線
平面上の点の存在範囲
ベクトル\(\overrightarrow{n} \)に垂直な直線
円のベクトル方程式
点\( C(\overrightarrow{c} )\)を中心とする半径\( r\)の円\( C\) を考えます。
この円上のどんな点 \( P(\overrightarrow{p} )\)に対しても、中心との距離は\( r\)であるので、以下の式が成立する。
\[|\overrightarrow{CP} |=r\]
つまり、\[|\overrightarrow{p}- \overrightarrow{c} |=r\ \ \ \cdots\cdots ① \]
が成立する。また、
\[ | \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} |^2=( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} )\cdot ( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} ) \]
であるから\[ ( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} )\cdot ( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} )=r^2 \ \ \ \cdots\cdots ②\]
①，②を点\( C( \overrightarrow{c} ) \)を中心とする半径\( r\)の円\( C\) のベクトル方程式といいます。
ここで，\( \overrightarrow{p}=(x,y) \)，\( \overrightarrow{c}=(a,b) \)と成分表示すると
\[ \overrightarrow{p}- \overrightarrow{c}=(x-a,y-b) \]であるので\[ ( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} )\cdot ( \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c} )=(x-a)^2 + (y-b)^2 \]したがって，\[ (x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \ \ \ \cdots\cdots ③\]
となる。③は円\( C\)の方程式となっている。
２点を結ぶ線分を直径とする円のベクトル方程式
2点\( A( \overrightarrow{a} ) \)，\(B ( \overrightarrow{b} ) \)を結ぶ線分\( AB\)を直径とする円を考えます。円上の点を\( P ( \overrightarrow{p} )\)とする。
［I］\( P\)が\( A\)にも\( B\)にも一致しないとき
\( AP\perp BP\ \ \ \)すなわち\(\ \ \ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} \)
したがって，
\[ ( \overrightarrow{p} – \overrightarrow{a} )\cdot (\overrightarrow{p} – \overrightarrow{b})=0 \ \ \ \cdots\cdots ④ \]
\(P \)が\( A\)または\( B\)に一致するとき，
\( \overrightarrow{p} – \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \ \ \ \)または\( \ \ \ \overrightarrow{p} – \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)
となるので，このときも④が成立する。
④は2点\( A( \overrightarrow{a} ) \)，\(B ( \overrightarrow{b} ) \)を結ぶ線分\( AB\)を直径とする円のベクトル方程式となる。
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