【高校数学】集合と論理【問題一覧】

次の □ の中に\(\ \in \) ,  \( \notin\)  のいずれかを書き入れなさい。

（1）正の偶数全体の集合を\(\  A\ \)とするとき 

    \(4\  □ A\), 5\(\  □ \ A\)

（2）\(12 \) の正の約数全体の集合を\(\ B\  \)とするとき

    \(7\  □ \ B\), \(3\  □ \  B  \)

（3）有理数全体の集合を\(\ \mathbb{Q}\ \)とするとき

     \(2\  □ \ \mathbb{Q}\ \)，\(\sqrt{2}\  □ \ \mathbb{Q\ }\)，\( \displaystyle -\frac{5}{2} \  □ \ \mathbb{Q}\)

次の集合を，要素を書き並べる方法で示せ。

（1）\(12 \) の正の約数全体の集合\( A\) 

（2）\( B = \{ \  x \  |\ x\ は-3 ≦ x < 2,\ x\  は整数    \}    \) 

（3）\(C= \{\   2n\   |\  n ≦  4,\ n\  は自然数      \}  \) 

次の集合を，要素の条件を述べる方法で示せ。

（1）\(A=\{ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11    \}    \) 

（2）\(B=\{  6,\ 8,\ 10,\ \cdots,200    \}    \) 

（3）\(C=\{  1,\ 4,\ 7,\ \cdots,112    \}    \) 

次の4つの集合

\( A= \{  1,\ 2,\ 3 \}   \), \( B= \{  1,\ 3,\ 4 \}   \), \( C= \{  2 \}   \), \(  D= \{\   x\ |\ x\ は\ 6\ \mathbf{の}正\mathbf{の}約数 \}   \)のうち，\( E= \{  1,\ 2,\ 3,\ 6 \}\    \)の部分集合であるものを答えなさい。  

集合\(A= \{  1,2,3,6 \}  \  \)と次の集合の間に成り立つ関係を，記号\(\ \subset  \), \( =\ \)を用いて表しなさい。

（1）\(B=\{  \   x\  |\ x\ は\ 3\ \mathbf{の}正\mathbf{の}約数 \}   \)

（2）\(C=\{ \    x\  |\ x\ は\ 6 \ \mathbf{の}正\mathbf{の}約数 \}   \)

（3）\(D=\{   \  x\  |\ x \ は\ 12\ \mathbf{の}正\mathbf{の}約数 \}   \)

（1）集合\(\{  1,\ 2 \} \)の部分集合をすべてあげよ。

（2）集合\(\{  1,\ 3,\ 5 \} \)の部分集合をすべてあげよ。

\(A= \{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5  \}  \), \(B= \{ 2,\ 4,\ 6 \}  \), \(C= \{  1\ ,3 \} \)について，次の集合を求めよ。

（1）\(A\cap B \) 

（2）\( A \cup B\) 

（3）\( A \cap C\) 

（4）\(A \cup C \) 

\(A= \{\ x \  |\ -3 ≦ x ≦ 3,\ x\ は実数 \}  \), \(B= \{\  x\  |\ 0< x <4,\  x\ は実数 \}  \), \(C= \{\ x \  |\  -1<x<3 , \ x \ は実数  \}  \)について，次の集合を求めよ。

（1）\(A\cap B \) 

（2）\( A \cup B\) 

（3）\( A \cap C\) 

（4）\(A \cup C \) 

\(A= \{ 1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8\}  \), \(B= \{ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \}  \), \(C= \{3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9 \}  \)について，\( A\cap B \cap C\), \(A\cup B\cup C \)  を求めよ。 

\( U=\{   \ x\ |\ x \ は\ 10\ より小さい自然数 \} \)を全体集合とする。

\(A=\{  2,3,5,8 \}   \), \( B=\{  3,5,9 \}  \)について，次の集合を求めよ。

（1）\(\overline{A}\)

（2）\(A\cap\overline{B}\)

（3）\(\overline{A}\cup \overline{B}\)

（4）\(\overline{A\cap B}\)

\( A \subset B \ \)ならば\(\ \overline{A}\supset\overline{B}\  \)であることを，下の図を用いて確かめなさい。

\(U= \{   x|x は10より小さい自然数 \} \)を全体集合とする。

\(A=\{  3,5,8 \}   \), \( B=\{  2,5,8,9 \}  \)について，次の集合を求めよ。

（1）\(\overline{A}\cap \overline{B}\)

（2）\(\overline{A}\cup \overline{B}\)

次の事柄は命題といえるか答えよ。

（1）\( 4\ \) は素数である。

（2）\(x-3=0\  \)ならば\( \ x=3\ \)である。  

（3）\( -1000 \ \)は小さい数である。

（4）\( -1000\ \)は\(\  1000\ \)より小さい数である。  

次の命題の真偽を述べよ。

（1）\(2 ^{2} + 3 ^{2} =4 ^{2}  \) 

（2）\( \sqrt{(-3) ^{2} }=-3 \) 

（3）円周率\( \ \pi\ \)は\(\ 3.05 \  \)より大きい  

（4）長方形は平行四辺形である。

（1）\( x\) は実数とする。条件\( 「3x + 9>0」\)が真となるような\(\  x\ \)の値の範囲を求めよ。

（2）\(p\ \)は\(\ 11 \ \)より大きく\( \  17 \  \)より小さい整数とする。 条件「\( \ p \ \)は素数である。」が真となるような\( \ p\ \)の値を求めよ。

\( x\) は実数，\( n\)は自然数とする。次の条件\(\ p,\ q\  \)について，命題\(「p \Longrightarrow q」 \)の真偽を， 集合を考えることによって答えよ。

（1）\( p:-4<x\ , \ \ \)\(q:x<3 \)  

（2）\( p:-5 < x<-3\ , \ \ \)\(q:x<-1 \) 

（3）\( p:n\ は\ 6\ \mathbf{の}倍数 \ , \ \ \)\(q:n\ は\  3 \ \mathbf{の}倍数 \) 

（4）\( p:n\ は\ 24\ \mathbf{の}約数 \ , \ \ \)\(q:n\ は\  36 \ \mathbf{の}約数 \) 

\( x\) は実数，\( n\)は自然数とする。次の命題の真偽を答えよ。また，偽であるときは反例をあげよ。

（1）\( 3x= 15 \Longrightarrow x=5  \) 

（2）\( x ^{2} =3x \Longrightarrow x=3 \) 

（3）\( x ^{2} =5 \Longrightarrow  x=\sqrt{5}  \) 

（4）\( n\  は素数 \Longrightarrow n\ は奇数 \) 

\( x\ \)は実数，\( n\ \)は自然数とする。次の条件の否定を述べよ。

（1）\(  x ≦ -2 \) 

（2）\( x は無理数である  \) 

（3）\( x \ne 3 　 \) 

（4）\( n\ は偶数である \) 

\( x,\ y\ \)は実数とする。次の条件の否定を述べよ。

（1）\(  x \ne 0 \ \)かつ\(\ y \ne  0 \)

（2）\( x ≦ 3 \ \)または\(\ x ≧ 5 \)

（3）\( x,\ y\ 　 \)の少なくとも一方は有理数である。

（4）\( x,\ y\ \)はともに有理数である。

\( x,\ y\ \)は実数とする。次の\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)に，「必要条件」，「十分条件」のうち，適切なものを入れよ。

（1）\(  x =-1 \ \)は\(\ x^{2} =1 \)であるため\(\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)である。

（2）\(  x >0 \ \)は\(\ x>2\  \)であるため\(\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)である。

（3）\( x =y \ \)は\(\ (x-y)x=0\  \)であるため\(\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)である。

（4）\( xy>0 \ \)は\(\ x>0 \ \)かつ\(\ y>0 \ \)であるため\(\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)である。

\( x,\ y,\ z\ \)は実数とする。次の中で，\( x=y\ \)と同値な条件をすべて選びなさい。

① \(x + z =y + z \) 

② \(x ^{2} =  y ^{2} \) 

③ \( (x-y ) ^{2} =0 \) 

④ \( xz=yz   \) 

\( x,\ y\  \)は実数とする。次の\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)の中に，「必要条件であるが，十分条件ではない」，「十分条件であるが，必要条件ではない」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，適切なものを入れよ。

（1）\(x=3 \ \)は\(\  x ^{2} =9\ \)であるための\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)。 

（2）\(|x|= |y| \)は\(\  x ^{2} =y ^{2}  \  \)であるための\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)。

（3）\( x<2  \ \)は\( -1<x<3\ \)であるための\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)。  

（4）\( 2\ \)つの三角形の面積が等しいことは，\( 2\ \)つの三角形が合同であるための\(\  \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\ \)。  

\( x,\ y\ \)は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また，その逆，対偶，裏を述べ，それらの真偽を調べよ。

（1）\( 「x>y  」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「x -y>0」 \)

（2）\( 「x=0  」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「xy=0」 \)

（3）\( 「xy>0  」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「x>0 かつ　y>0」 \)

\( x,\ y\ \)は実数，\( n\ \)は整数とする。対偶を考えて，次の命題を証明せよ。

（1）\( 「x ^{2}\ne  4 」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「x \ne 2」 \)

（2）\( 「x + y  > 5 」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「x > 3\  または  \   y>2 」 \)

（3）\( 「n ^{2}\ が\ 5 \mathbf{の}倍数でない 」\)\(\ \Longrightarrow   \)\(「n \ は\ 5 \mathbf{の}倍数でない 」 \)

（1）\( \sqrt{2}\  \)が無理数であることを用いて，\( 1 + 2 \sqrt{2}\  \)が無理数であることを証明せよ。

（2）\( \sqrt{2}\  \)が無理数であることを用いて，\( \sqrt{3} +  \sqrt{6}\  \)が無理数であることを証明せよ。

（1）\( n\ \)を整数とするとき，\( n ^{2} \ \)が\(\ 3 \ \)の倍数ならば，\( n\ \)は\(\ 3 \ \)の倍数であることを証明せよ。

（2）\( \sqrt{3}\  \)が無理数であることを証明せよ。  

次の命題の真偽を調べよ。

（1）すべての実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2}  + 1 >0\)

（2）すべての実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2}  + 2x + 1 >0\)

（3）すべての整数\( \ n \  \)について，\( n  ^{2} + n \ \)は偶数である。 

次の命題の真偽を調べよ。

（1）ある実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2} ≦ 0 \)

（2）ある実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2} < 0 \)

（3）ある素数\( \ p \  \)について，\(  p + 2 \  \)は素数である。

次の命題の否定を述べよ。

（1）すべての実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2}  + 1 >0\)

（2）すべての実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2}   >0\)

（3）ある実数\( \ x \  \)について，\( x ^{2} \ne  1 \)

（4）ある整数\( \ n \  \)について，\( n\  \)と\(\ n + 1 \  \)の積は奇数である。