【高校数学】「すべて」と「ある」の否定【集合と論理】

\(\ n\ \)に関

ここでは、「すべて」と「ある」についての論理を学習していきます。

「すべて」と「ある」

「すべて」

一般に，「すべての\(\ x \ \)について\(\ p(x) \ \)」という命題は，「任意の\(\ x \ \)について\(\ p(x) \ \)」，「どのような\(\ x \ \)について\(\ p(x) \ \)」などといわれることがあるが，数学的には同じことをいっている。

これは，全体集合\( \ U \ \)のすべての要素が条件\( \ p(x) \ \)を満たすということである。

「ある」

一般に，「ある\(\ x \ \)について\(\ p(x) \ \)」という命題は，「\(p(x) \ \)である\(\ x \ \)が存在する 」，「適当な\(\ x \ \)について\(\ p(x) \ \)」などといわれることがあるが，数学的には同じことをいっている。（数学的には”適当”というのはいい加減に選んでいるということではないので注意）

これは，全体集合\( \ U \ \)の要素の中で条件\( \ p(x) \ \)を満たすものが，少なくとも\( \ 1 \ \)つ存在するということである。

ド・モルガンの法則

「すべての( \ x\ )について(\ p(x) \ )」という命題が偽となるのは，