初項が3で公差が2の等差数列は\( a_n=2n + 1\)でした。このように、\(a_n \)を\( n\)の式で表したとき、これを一般項といいました。一般項が分かれば、\( n\)に代入することで全ての数列の項を求めることができます。また、初項が3で公差が２の等差数列は、初項が３で、第2項は初項３に公差２を加えた５、第3項は第2項の5に公差2を加えた7、\( \cdots\cdots\)ということができます。つまり、
［1］初項\( (a_1=3)\)
［2］前の項から、その次に続く項を定める規則\( (a_{n + 1}=a_n + 2)\)
が与えられていれば、第1項が与えられていて、第1項が分かれば第2項が分かり、第2項が分かれば第3項が分かり、\( \cdots\cdots\)と次々にわかる。このような数列の表し方を漸化式といいます。ここでは、漸化式から一般項を求めたり、漸化式を利用した問題を扱っていきます。
漸化式
上の方で、少し漸化式について説明しましたがもう一度整理していきます。
数列\(\{a_{n}\}\)が次の2つの条件を満たしているとする。
[1]\( a_1=2\)
[2]\( a_{n + 1}=3a_{n}-2\)
このとき、
\( a_{2}=3a_{1}-2=3\cdot 2 -2=6-2=4\)
\( a_{2}=3a_{1}-2=3\cdot 2 -2=6-2=4\)
\( a_{2}=3a_{1}-2=3\cdot 2 -2=6-2=4\)
\( a_{2}=3a_{1}-2=3\cdot 2 -2=6-2=4\)
\( \cdots\cdots\cdots\)
と\(a_2,a_3,a_4,\cdots\cdots \)の値が次々に決まっていきます。
つまり，数列\( \{ a_n\}\)の第\((n + 1) \)項\( a_{n + 1}\) が第\( n\)項\( a_n\)の式で表されているとき，第1項が分かれば第2項が分かって，第2項が分かれば第3項が分かって，それによってさらに第4項，第5項，\( \cdots\cdots\)と次々に分かります。
つまり、
［1］初項
［2］ 前の項から、その項に続く項を定める規則
の2つを与えることで、数列を定めることができます。
［2］の規則を上の例のように\( a_{n + 1}=3a_{n}-2\)と式で表すとき、この式を漸化式といいます。
数列
漸化式と一般項
ここでは、数列\(\{a_{n}\}\)の初項と漸化式が与えられたとき，数列\(\{a_{n}\}\)の一般項を求めていきましょう。
\( a_{n + 1}= p a_{n}+ q\)の形の漸化式
次に\( a_{n + 1}= p a_{n}+ q\)の形の漸化式と初項が与えられたときに，一般項を求めていきます。
例えば、
一般に，\(p,q \)が定数で\(p\ne 1 \)のとき，漸化式
\(a_{n + 1}= p a_{n}+ q \)
が
\( a_{n + 1} – \alpha = p(a_{n} – \alpha ) \)
と変形することができたとすると，数列\( \{ a_n\} \)の各項から定数\( \alpha \)を引いた数列\(\{a_{n} – \alpha \}\)は，公比\( p\)の等比数列となることが分かります。
これを変形すると
コメント