等差数列や等比数列の他にもいろいろな数列の和を考えていきますが、計算が煩雑になり見にくいということが起きたり、計算しにくいということがあるので、ここでは、新しい記号を導入していきます、
和の記号\( \sum \) (シグマ)
シグマ記号
数列の\( a_1+ a_2+ a_3+ \cdots +a_n \)を記号\( \sum \)を用いて \begin{align*} a_1+ a_2+ a_3+ \cdots +a_n &=\sum^n_{k=1} a_k \end{align*} とかく．つまり，\( \sum^n_{k=1} a_k \) は\( k\)が\( 1,\ 2, \ 3, \ \cdots ,\ n\)と変わるときのすべての\( a_k\)の和を表す．
記号\( \sum\)の性質
記号\( \sum\)の性質
\begin{align*} \sum^n_{k=1} (a_k+b_k) &= \sum^n_{k=1} a_k+\sum^n_{k=1} b_k \\ \sum^n_{k=1} ca_k &= c \sum^n_{k=1} a_k \ \ \ \ \mbox{(cは定数)} \end{align*}
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} (a_k+b_k) = \sum^n_{k=1} a_k+\sum^n_{k=1} b_k\ \ \)の証明
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} ca_k = c \sum^n_{k=1} a_k \ \mbox{(cは定数)}\ \ \)の証明
累乗の和
累乗の和
\begin{align*} \sum^n_{k=1} c &= nc \ \ \ \ \mbox{(cは定数)}\\ \sum^n_{k=1} k &= \frac{1}{2}n(n+1)\\ \sum^n_{k=1} k^2 &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ \sum^n_{k=1} k^3 &= \{ \frac{1}{2}n(n+1) \}^2 \end{align*}
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} c = nc \ \mbox{(cは定数)}\ \ \)の証明
\begin{align*} \sum^n_{k=1} c&=\overbrace{c+c+\cdots +c}^{\text{ n 個}}\\ &=nc \end{align*}とくに\[ \displaystyle \sum^n_{k=1} 1 = n \ \]が成立しています．
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} k = \frac{1}{2}n(n+1)\ \ \)の証明
等差数列の和の公式を使った証明
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} c = nc \ \mbox{(cは定数)}\ \ \)を使った証明
\( \displaystyle \sum^n_{k=1} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\ \ \)の証明
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