今まで、等差数列や等比数列を学習してきました．
これからは、それ以外の数列を扱っていきましょう．
階差数列
数列\(\{a_n\} \) に対して， \[ b_n=a_{n+1}-b_n\] としてあられる数列\( \{b_n\} \)を数列\(\{a_n\} \)という．
数列\( {a_n} \)の階差数列を\( \{b_n\}\)とすると，
\[ b_{1}=a_{2}-a_{1} \\ b_{2}=a_{3}-a_{2} \\ b_{3}=a_{4}-a_{3} \\ \cdots \cdots \\ b_{n-1}=a_{n}-a_{n-1} \]
これら(n-1)個の等式を辺々加えると，\( n\geq 2 \)のとき
\[b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\cdots +(a_{n}-a_{n-1}) \\ =a_n-a_1\]
すなわち，
\begin{align*} a_n&= a_1+(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1})\\ &= a_1+\sum^{n-1}_{k=1}b _k\end{align*}数列\(\{a_n\} \) の階差数列を\( \{b_n\} \) とすると，\( n\geq 2\) のとき \[ a_n= a_1+\sum^{n-1}_{k=1}b_k\]
数列の和と一般項
数列\(\{a_n\} \) の初項から第\( \ n\ \)項までの和を\( \{S_n\} \) とすると， \begin{align*} a_1&=S_1\\ a_n&=S_n-S_{n-1}\ \ \ ( n\geq 2\ のとき) \end{align*}
分数で表された数列の和
分数で表された数列の和は，各項を２つの分数の差のに分解することにより，その数列の和を求めることができる場合がある．
\begin{align*} \frac{1}{k(k+1)} &=\frac{1}{k} -\frac{1}{k+1} \end{align*} のように分解することを部分分数分解といいます．
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