三平方の定理
三平方の定理
直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを\( a,\ b\ ,\ \)斜辺の長さを\( c\)とすると、次の等式が成り立つ。\[ a ^{2} + b ^{2} = c ^{2} \]
三平方の定理の証明
証明）
直角三角形ABCと三角形ABCと合同な直角三角形を下図のように並べる。 四角形CDEFは一辺a+bの正方形で面積は\( (a + b)^2\)である。 また、四角形ABHGは一辺cの正方形で面積は\( c^2\)である。 斜辺部の4つの直角三角形の面積は\(4 \times \frac{1}{2}ab \)である。 四角形ABHGの面積 + 斜辺部の4つの直角三角形の面積 = 四角形CDEF したがって、 \begin{eqnarray} c^2 + 4 \times \frac{1}{2} ab &=& (a + b)^2\\ c^2 + 2ab &=& a^2 + 2 ab + b^2 \\ c^2 &=& a^2 + b^2 \\ a^2 + b^2 &=& c^2 \end{eqnarray}
直角三角形ABCと三角形ABCと合同な直角三角形を下図のように並べる。 四角形CDEFは一辺a+bの正方形で面積は\( (a + b)^2\)である。 また、四角形ABHGは一辺cの正方形で面積は\( c^2\)である。 斜辺部の4つの直角三角形の面積は\(4 \times \frac{1}{2}ab \)である。 四角形ABHGの面積 + 斜辺部の4つの直角三角形の面積 = 四角形CDEF したがって、 \begin{eqnarray} c^2 + 4 \times \frac{1}{2} ab &=& (a + b)^2\\ c^2 + 2ab &=& a^2 + 2 ab + b^2 \\ c^2 &=& a^2 + b^2 \\ a^2 + b^2 &=& c^2 \end{eqnarray}
三平方の定理を使おう
三平方の定理を使うと、直角三角形の二辺の長さがわかっているときに、残りの一辺の長さを求めることができます。次の例題で確認していきましょう。
例題
次の（1）〜（4）において、xの値を求めなさい。
解答）
（1）三平方の定理より
\begin{eqnarray} 5^2 + x^2 &=&6^2 \\ 25 + x^2 &=&36 \\ x^2&=&11 \end{eqnarray}
\( x>0\)であるので
\( x= \sqrt{11}\)
（1）三平方の定理より
\begin{eqnarray} 5^2 + x^2 &=&6^2 \\ 25 + x^2 &=&36 \\ x^2&=&11 \end{eqnarray}
\( x>0\)であるので
\( x= \sqrt{11}\)
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