ここでは，２次関数のグラフについて学習します．２次関数のグラフは，中学校で学習した\( \ y=ax ^{2} \ \)を平行移動したものになっています．
2次関数
関数\( y=3x^2,\ y=2x^2,\ y=-2x^2+3x-2\)のように\( y=\)(２次式)のように表すことができるとき，\( y\)は\( x\)の2次関数であるといいます。一般には次のようになります．
２次関数：
\(a,\ b,\ c\)を定数として，\begin{align*} y & =ax^2+b x+c \end{align*}の形で表されるとき，\(y\ \)は\(\ x\ \)の2次関数であるという．ただし，\(a\ne 0 \)とする．
\(a=0\ \) としてしまうと，\( y=\ \)(２次式)にならないので，２次関数の定義にこの条件が入っています．
\( y=ax^2\)のグラフ
中学校では，2次関数\( y=ax^2\)について学習しました．それを復習しましょう．
2次関数のグラフは，原点を通り，\(y\)軸に対して対称な以下のようなグラフになります．
このグラフが表す曲線を放物線といいます．（物を投げたときにできる曲線です．）
放物線の対称軸を軸，軸と放物線の交点を頂点といいます．
また，２次関数\(\ y=ax ^{2} \ \)について，次のことが成立する．
- \(a>0 \ \)のとき，\( x\ \)の値が増加すると
\( x ≦ 0\ \)の範囲で\(\ y \ \)の値は減少し，\( x ≧ 0\)の範囲で\( \ y \ \)の値は増加する． - \(a<0 \ \)のとき，\( x\ \)の値が増加すると
\( x ≦ 0\ \)の範囲で\(\ y \ \)の値は増加し，\( x ≧ 0\)の範囲で\( \ y \ \)の値は減少する．
また，２次関数の\( \ y=ax ^{2} \ \)のグラフは，\(y\)軸を軸とし，原点を頂点とする放物線で，その曲線の形状から
\( a>0\ \)のとき 下に凸 ，\(a<0 \ \)のとき 上に凸
であるという．
問：
次の２次関数のグラフをかけ．また，その放物線は上に凸，下に凸のどちらであるか．
点の移動
平行移動：
平面上で，図形上の各点を一定の向きに，一定の距離だけ動かすことを平行移動という．
例：
点の移動について，一般に，次のことがいえる．
点\( \ (a,\ b) \ \)を\(\ x\ \)軸方向に\( \ p \ \)，\(y\ \)軸方向に\(\ q \ \)だけ移動した点の座標は
\[ (a + p,\ b + q) \]
である．
問：
次の点を，\( x\ \)軸方向に\( -2\)，\(y \ \)軸方向に\( 3\)だけ移動した点の座標を求めよ．
\( y=a^2+b x+c\)のグラフ
\( y=ax^2+q\)のグラフ
ここでは、\( y=ax^2\)のグラフと\( y=ax^2+q\)のグラフの比較してしましょう．
\( y=ax^2+q\)のグラフ：
\( y=ax^2+q\)のグラフは，\( y=ax^2\)のグラフを\(\ y\ \)軸方向に\( \ q\ \)だけ平行移動した放物線で，その軸は\(\ y\ \)軸，頂点は点\( \ (0,\ q)\ \)である．
問：
次の２次関数のグラフをかけ．また，その軸と頂点を求めよ．
\( y=a(x-p)^2\)のグラフ
\( y=a(x-p)^2\)のグラフ：
\( y=a(x-p)^2\)のグラフは，\( y=ax^2\)のグラフを\( x\)軸方向に\( p\)だけ平行移動した放物線で，その軸は直線\( x=p\)，頂点は点\( (p,\ 0)\)である．
問：
次の２次関数のグラフをかけ．また，その軸と頂点を求めよ．
\( y=a(x-p)^2＋q\)のグラフ
\( y=a(x-p)^2＋q\)のグラフ：
\( y=a(x-p)^2＋q\)のグラフは，\( y=ax^2\)のグラフを\( x\)軸方向に\( p\)，\( y\)軸方向に\( q\)だけ平行移動した放物線で，その軸は直線\( x=p\)，頂点は点\( (p,\ q)\)である．
問：
次の２次関数のグラフをかけ．また，その軸と頂点を求めよ．
平方完成
２次式\(\ a x^{2} + bx + c \)は，下のように\(\ a (x-p) ^{2} + q\ \)の形に変形できます．
例：
平方完成：
上のように２次式\(\ a x^{2} + bx + c \ \)は，下のように\(\ a (x-p) ^{2} + q\ \)の形に変形することを平方完成するという．
問：
次の２次式を平方完成せよ．
\( y=a^2+b x+c\)のグラフ
２次式の平方完成を利用して，２次関数\(\ y= a x ^{2} + b x + c \ \)のグラフを書くことができます．
２次式\(\ a x^{2} + bx + c\ \)は下のように平方完成することができる．
\( y=a^2+b x+c\)のグラフ：
\( y=a^2+b x+c\)のグラフは，\( y=ax^2\)のグラフを\( x\)軸方向に\(\displaystyle -\frac{b}{2a} \)，\( y\)軸方向に\(\displaystyle -\frac{b^2-4ac}{4a} \)だけ平行移動した放物線で，その軸は直線\(\displaystyle x= -\frac{b}{2a} \)，頂点は点\( \displaystyle (-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a})\)である．
コメント