以前に１次関数のグラフを利用して，関数の最大値・最小値を求めました．ここでは，２次関数のグラフを利用して，２次関数の最大と最小，また，定義域に制限がある場合の最大と最小について扱います．その後，最大・最小の応用について学ぶ．
2次関数の最大・最小
１次関数の場合，グラフが直線なので定義域の端だけを考えれば十分な場合が多かった．しかし，２次関数の場合は直線ではないので，そのように簡単にはいかない．また，これからもっと複雑な関数を扱うが，グラフを書いて最大・最小を考えることが基本になる．
2次関数の最大・最小
2次関数\(y=ax^2+bx+c \)は平方完成で\( y=a(x-p)^2+q\)の形にするとこができる．これを使って，グラフを書くことができるのでそれによって，最大値または最小値を求めることができる．
例：2次関数\(\ y=x ^{2}-4 x + 2\ \)の最大値・最小値を考える．
\begin{align*} y&= x ^{2} -4 + 2 \\ &=(x-2)^{2} -2 ^{2} + 2 \\ &=(x-2 )^{2} -2 \end{align*}
となるので，上の２次関数のグラフは，頂点が点\(\ (2,\ -2) \ \)の下に凸の放物線である．上の図により，この関数は\( \ x=2 \ \)のとき最小値\(\ -2 \ \)をとる．
また，\( y\ \)はいくらでも大きい値を取るので，最大値はない．
例：2次関数\(\ \displaystyle y=-\frac{1}{2} x ^{2}- 2 x + 1\ \)の最大値・最小値を考える．
\begin{align*} y&= -\frac{1}{2} x ^{2}- 2 x + 1 \\ &=- \frac{1}{2}\left( x ^{2} + 4x\right) + 1 \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ (x + 2) ^{2}-2 ^{2} \right\} + 1 \\ &= -\frac{1}{2}\left( x + 2 \right) ^{2} + 2 + 1 \\ &= -\frac{1}{2}\left( x + 2 \right) ^{2} + 3 \end{align*}
となるので，上の２次関数のグラフは，頂点が点\(\ (-2,\ 3) \ \)の上に凸の放物線である．上の図により，この関数は\( \ x=-2 \ \)のとき最大値\(\ 3 \ \)をとる．
また，\( y\ \)はいくらでも小さい値を取るので，最小値はない．
一般に，２次関数\(\ y=a x ^{2} + b x + c \ \)は( \ y= a(x-p) ^{2} + q \ \)の形に変形でき，そのとき，最大値・最小値について次のことが成り立つ．
2次関数の最大と最小：
2次関数\( \ y= a(x-p) ^{2} + q \ \)は
\( a>0\)のとき，\( x=p\ \)で最小値\(\ q \ \)をとり，最大値はない。
\( a<0\)のとき，\( x=p\ \)で最大値\(\ q \ \)をとり，最小値はない。
定義域が制限されたときの最大値・最小値
定義域が制限されたときは，頂点を見て最大・最小ということはできない場合がある．グラフをかいて最大・最小を考えていきます．
定義域が限られたときの最大・最小
定義域に文字を含む場合の最大・最小
軸に文字を含む場合の最大・最小
最大・最小の応用
ここでは，日常の問題を２次関数を利用して解決する問題を扱います．
２次関数の最大・最小に関する問題の練習
ここでは，２次関数の最大・最小に関する問題を練習していきます．
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