【高校数学】2次方程式【2次関数（第6回）】

式を整理して（２次式）＝０ の形に変形できる方程式を２次方程式という．\( x\ \)の２次方程式は

\[ ax ^{2} + b x + c=0\]

と表される．ただし，\( a\ne 0\ \)とする．

ここでは，中学校でも学習した因数分解による解法，２次方程式の解の公式について確認します．また，２次方程式の係数から得られる「判別式」によって，方程式の解を分類します．

因数分解による解法

因数分解を利用して，２次方程式を解いてみます．

例：\( x ^{2}-6x + 5=0\)

例：\( 2 x ^{2}-5x + 2=0\)

解の公式による解法

２次方程式

\[ ax^2+bx+c=0 \cdots ①\]

の解を求める公式として，中学校で解の公式を学習した．ここでそれを復習します．

２次方程式①の左辺を平方完成すると

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x\right) +c\\ &=a\left\{ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\left( \dfrac{b}{2a}\right) ^{2}\right\} +c\\ &=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a}+c\\ &=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac} {4a}\end{aligned}

となる．したがって，２次方程式①は次のようになる．

\begin{aligned}a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}=0\\ a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}

ゆえに，

\begin{aligned} \left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a ^{2} }\cdots ②\end{aligned}

［1］\( b ^{2}-4ac ≧ 0\ \)のとき，②の右辺は正または\(\ 0\ \)なので

\begin{aligned}  x+\dfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}    \end{aligned}

この式の右辺は，\( a\ \)の正負にかかわらず，\( \pm \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\ \) となるから\begin{aligned}  x&=-\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}

［2］\( b ^{2}-4ac<0\ \)のときは，②の右辺

\begin{aligned} \left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a ^{2} }\cdots ②\end{aligned}

は負となるので，②を満たす実数\(\ x \ \)は存在しない．すなわち，\( b ^{2}-4ac <0\ \)のとき，２次方程式

\[ ax^2+bx+c=0 \]

は実数の解をもたない．

後に学習する複素数を学習すると，２次方程式は解を持ちます．

２次方程式\(\ a x ^{2} +2 b’x + c=0\)

２次方程式の\( \ x\ \)の係数が\( \ 2b’ \ \)になっているとき，解の公式での計算が（少し）簡単になる場合があります．

（1）

（2）