【高校数学】放物線の平行移動と対称移動【2次関数（第4回）】

数学Ⅰ

2024.01.042026.01.04

ここでは，２次関数の平行移動と対称移動に関して学習します．その後，発展的な内容になりますが，一般の関数に関する平行移動と対称移動について扱います．

２次関数の平行移動と対称移動

平行移動の定義に関しては，以前に扱っていますが，もう一度確認しましょう．

平行移動：

平面上で，図形上の各点を一定の向きに，一定の距離だけ動かすことを平行移動という．

点の移動：

点\( \ (a,\ b) \ \)を\(\ x\ \)軸方向に\( \ p \ \)，\(y\ \)軸方向に\(\ q \ \)だけ移動した点の座標は\[ (a + p,\ b + q) \]である．

次に具体的な２次関数を例にとって，２次関数の方程式を求めていきます．

例：

一般に，放物線\( \ y=a x ^{2} + bx + c \ \)を\(\ x \ \)軸方向に\(\ p \ \)，\( y\ \)軸方向に\(\ q\ \)だけ平行移動して得られる放物線の方程式は，\[ y-q=a(x-p) ^{2} + b (x-p)+ c\]である．

対称移動：

平面上で，図形上の各点を，直線や点に関してそれと対称な位置に移すことを対称移動という．

特に，\( x\ \)軸や\(\ y \ \)軸を対称の軸として線対象な位置に移す対称移動と，原点を対称の中心として点対称な位置に移す対称移動による点の移動について，次のことがいえる．

（\( x\ \)軸・\(\ \ y \ \)軸・原点の）対称移動：

点\(\ (a,\ b) \ \)は，それぞれ次の点に移される．
\( x\ \)軸に関する対称移動：\( (a,\ -b) \)
\( y\ \)軸に関する対称移動：\( (-a,\ b) \)
原点に関する対称移動：\( (-a,\ -b) \)

一般に，放物線\( \ y=a x ^{2} + bx + c \ \)を\(\ x \ \)軸，\( y\ \)軸，原点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式は，次のようになる．

\( x\ \)軸：\( y=a x ^{2} + bx + c\ \)の\( \ x\ \)はそのまま，\( y\ \)を\(\ -y \ \)に置き換えて\[ -y=a x ^{2} + bx + c \]
\( y\ \)軸：\( y=a x ^{2} + bx + c\ \)の\(\ x\ \)を\(\ -x \ \)に置き換えて，\( y\ \)はそのまま\[ y=a (-x) ^{2} + b(-x) + c \]
原点：\( y=a x ^{2} + bx + c\ \)の\(\ x\ \)を\(\ -x \ \)に置き換えて，\( y\ \)を\(\ -y \ \)に置き換えて\[ -y=a (-x) ^{2} + b(-x) + c \]