【数I】3次式の展開と因数分解【数と式（第5回）】

数と式
2023.12.24

ここでは，数IIで扱うものですが，いい機会なので扱っていきましょう。

3次式の展開


\( (a + b)^3 \ \)を展開すると，次のようになります．

\begin{aligned}\left( a+b\right) ^{3}&=\left( a+b\right)  \left( a+b\right) ^{2}\\ &=\left( a+b\right)  \left( a^{2}+2ab+b^{2}\right) \\ &=a\left( a^{2}+2ab+b^{2}\right) +b\left( a^{2}+2ab+b^{2}\right) \\ &=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}\\ &=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\end{aligned}

よって，

\begin{equation}\left( a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\cdots \text{①} \end{equation}

次に，\( (a-b)^3\ \)を展開します．①の\( \ b \ \)に\( \ -b \ \)を代入すると
\begin{aligned}\left( a-b\right) ^{3}&=\left\{ a+\left(-b\right)\right\} ^{3}\\ &=a^{3}+3a^{2}\left(-b\right)+3a\left(-b\right)^{2}+\left( -b\right)^{3}\\ &=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \end{aligned}

よって\begin{equation}\left( a-b\right) ^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \end{equation}

したがって，次の展開の公式が成立します．

３次式の展開公式（その１）：

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\begin{align*} (a +b )^3 &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a -b )^3 &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{align*}

３次式の展開公式（その２）：

(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3\begin{align*} (a +b )(a^2-ab+b^2)&=a^3+b^3 \\ (a -b )(a^2+ab+b^2)&=a^3-b^3 \end{align*}

3次式の因数分解

２次の因数分解のときと同じように展開公式から因数分解公式を得ることができます．

3次式の因数分解公式：

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\begin{align*} a^3+b^3 &=(a +b )(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 &=(a -b )(a^2+ab+b^2) \end{align*}

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