ここでは、２つの事象A,BについてAが起こったことがわかっているときに、Bの起こる確率を考えていきます。
条件付き確率
箱の中に、1から５までの数字が書かれた青色の番号札5枚と6から10までの数字が書かれた白色の番号札5枚が入っている。この箱から番号札を1枚引く。それが、青色の番号札であるという事象をA、偶数の番号札であるという事象をBとする。
（I）事象Bの起こる確率を求める。\begin{align*} P(B)&=\frac{n(B)}{n(U)}\\ &= \frac{5}{10}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}
（II）引いた番号札が青色であることがわかっているとき、その番号が偶数である確率pを求める。
青色の札は5枚であり、その中で番号が偶数である札は2と4の2枚であるので
\begin{align*}p &= \frac{2}{5} \end{align*}となる。 これは、Aを全事象としたときの事象Bが起こる確率である。\begin{align*}p &= \frac{n(A\cap B)}{n(A)} \\ &= \frac{2}{5} \end{align*}
1つの試行における２つの事象A, Bに対して，事象Aが起こったとして，そのときに事象Bが起こる確率をAが起こったときのBが起こる条件付き確率といい\( P_A(B) \) で表す．上の例では、\(\displaystyle P_A(B)=p=\frac{2}{5}\)である。
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
問題）上の例で条件付き確率\( P_B(A)\)を求めよ。
条件付き確率の公式
全事象をU とする。２つの事象A,Bについて条件付き確率\( P_A(B)\)はAを全事象とみなしたときの積事象\(A \cap B \)の起こる確率をと考えることができるので、\begin{align*} P_A(B)&=\frac{n(A \cap B)}{n(A)} \end{align*}ただし、\(n(A)\ne 0 \) とする。右辺において、分母と分子をそれぞれ全事象Uの起こる場合の数\( n(U)\)で割ると、\begin{align*} \frac{n(A\cap B)}{n(U)} &=P(A\cap B),\\ \frac{n(A)}{n(U)}&=P(A) \end{align*}となる。したがって、\begin{align*} P_A(B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \end{align*}
1つの試行における２つの事象A, Bに対して，事象Aが起こったとして，そのときに事象Bが起こる確率をAが起こったときのBが起こる条件付き確率\( P_A(B) \) は
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
問題）
ある試行における
確率の乗法定理
２つの事象A, Bがともに起こる確率\( P(A\cap B) \) は
\[ P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\]
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