方程式
式の中に代入する文字の値によって、成立したり、しなかったりする等式を方程式と言います。
方程式を成り立たせる文字の値をその方程式の解といい、解を求めることを方程式を解くと言います。
等式の性質
［1］等式の両辺に同じ数を足しても、等式は成立する。\[A=B\ \ ならば\ \ A + C=B + C\]
［2］等式の両辺から同じ数を引いても、等式は成立する。\[A=B\ \ ならば\ \ A – C=B – C\]
［3］等式の両辺に同じ数を掛けても、等式は成立する。\[A=B\ \ ならば\ \ AC=BC\]
［4］等式の両辺を0でない同じ数で割っても、等式は成立する。\[A=B\ \ ならば\ \ \frac{A}{C}=\frac{B}{C}\ \ (C\ne 0)\](注)\( \ C\ne 0\ \)は\( \ C \ \)が\(\ 0 \ \)に等しくないということを表しています。
［5］等式の両辺を入れ替えても、等式は成立する。\[A=B\ \ ならば\ \ B=A\]
等式の性質を使って方程式を解く
ここでは、等式の性質を使って、方程式を解いてみましょう。
両辺に同じ数を足して解く（\( x-a=b \) の形の方程式）
(1) \( x-4=5\)
(2) \( x-2=-3\)
解答）（1）
\( x-4=5\)
両辺に4を足すと
\begin{align*} x-4 + 4&=5 + 4\\ x&=9 \end{align*}
(2)
\( x-2=-3\)
両辺に2を足すと
\begin{align*} x-2 + 2&=-3 + 2\\ x&=-1 \end{align*}
両辺から同じ数を引いて解く（\( x + a=b \) の形の方程式）
(1) \( x + 3=2\)
(2) \( x + 2=-4\)
解答）（1）
\(x + 3=2\)
両辺から3を引くと
\begin{align*} x + 3 – 3&=2 – 3\\ x&=-1 \end{align*}
(2)
\(x + 2=-4\)
両辺から2を引くと
\begin{align*} x + 2 – 2&=-4 – 2\\ x&=-6 \end{align*}
両辺に同じ数を掛けて解く（ \( \displaystyle \frac{x}{a} =b \) の形の方程式）
(1) \( \displaystyle \frac{x}{2} =3\)
(2) \( \displaystyle -\frac{x}{3} =5\)
解答）（1）
\( \displaystyle \frac{x}{2} =3\)
両辺に2を掛けると
\begin{align*} \frac{x}{2} \times 2 &=3\times 2\\ x&=6 \end{align*}
解答）（2）
\( \displaystyle -\frac{x}{3} =5\)
両辺に-3を掛けると
\begin{align*} -\frac{x}{3} \times (-3) &=5\times (-3)\\ x&=-15 \end{align*}
両辺を同じ数で割って解く（\( ax=b \)の形の方程式 ）
(1) \( 2x=6\)
(2) \( -3x=9\)
解答）（1）
\( 2x=6\)
両辺を2で割ると
\begin{align*} \frac{2x}{2} &= \frac{6}{2} \\ x&=3 \end{align*}
解答）（2）
\( -3x=9\)
両辺を-3で割ると
\begin{align*} \frac{-3x}{-3} &= \frac{9}{-3} \\ x&=-3 \end{align*}
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