【中学数学3年生】根号を含む式の乗法・除法【平方根（第3回）】

\( \sqrt{2}\)と\( \sqrt{3}\)はともに正の数であるので、\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} \)は正の数になる。

\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} \)を2乗すると

\begin{align*} &(\sqrt{2}\times \sqrt{3}) ^{2} \\ =&(\sqrt{2}\times \sqrt{3})\times (\sqrt{2}\times \sqrt{3}) \\ =&(\sqrt{2}\times \sqrt{2})\times (\sqrt{3}\times \sqrt{3}) \\ =&2 \times 3\\ =&6\end{align*}

\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} \)は2乗すると\( 2 \times 3\)になり、正の数なので、\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} \)は\( 2 \times 3 \)の平方根のうち、正の方になることがわかる。

つまり、次のことが成立する。

\( \sqrt{2}\times \sqrt{3} =\sqrt{2 \times 3} \)

\( \sqrt{2}\)と\( \sqrt{3}\)はともに正の数であるので、\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }\)は正の数になる。

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }\)を2乗すると

\begin{align*} &\left( \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }\right)^{2} \\ =&
\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2} }{\sqrt{3} \times \sqrt{3} }
\\ \frac{2}{3} \end{align*}

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }\)は2乗すると\( \displaystyle \frac{2}{3}\)になり、正の数なので、\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }\)は\( \displaystyle \frac{2}{3}\)の平方根のうち、正の方になることがわかる。

つまり、次のことが成立する。

\( \displaystyle \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\sqrt{\frac{2}{3}} \)