正負の数の計算
正負の数の計算を説明する前に絶対値の復習をしましょう。
絶対値
数直線上で，ある数に対応する点と原点との距離をその数の絶対値といいます。
例）−6の絶対値は6，+3.５の絶対値は3.5
では次に例題を通して、絶対値を確認しましょう。
加法と減法
正負の数の加法（足し算）と減法（引き算）をまとめていきます。
例）+3と+5の共通の符号は+で，+3の絶対値は3，+5の絶対値は5なので
\( \ (+ 3)+ (+ 5)=+ (3 + 5)=+ 8=8 \ \)
-6と-5の共通の符号は-で，-6の絶対値は6，-5の絶対値は5なので
\( \ (- 6)+ (- 5)=- (6 + 5 )=- 11 \ \)
例）-3の絶対値は3，+5の絶対値は5なので，大きい方の絶対値は5，小さい方の絶対値は3，絶対値が大きい方の符号は+
\( \ (- 3)+ (+ 5)=+ (5 – 3)=+ 2=2 \ \)
-6の絶対値は6，+5の絶対値は5なので，大きい方の絶対値は6，小さい方の絶対値は5，絶対値が大きい方の符号は-
\( \ (- 6)+ (+ 5)=- (6 – 5 )=- 1 \ \)
引く数の符号を変えると加法の計算にすることができる。
例）\( \ (+ 5) – (+ 6)=(+ 5)+ (- 6)=- (6-5)=-1,\)
上の計算のように足し算は足し算でまとめて計算して，引き算は引き算でまとめて計算すると効率が良くなることが多いです。
いかがでしょうか？さっそく、例題を通して、理解を確認していきたいと思います。
（1）\(\ 3-(-6) \ \)（北海道）
（3）\(\ -1-5 \ \)（青森県）
（6）\(\ -14-(-5) \ \)（宮城県）
（9）\(\ 2-(3-8) \ \)（山形県）
（12）\(\ \displaystyle \frac{1}{2} – \frac{5}{6} \ \)（福島県）
（13）\(\ -3-(-7) \ \)（栃木県）
（14）\(\ 2-(-5) \ \)（群馬県）
（19）\(\ -9-(-5) \ \)（神奈川県）
（20）\(\ \displaystyle -\frac{5}{6} – \frac{3}{4} \ \)（神奈川県）
（22）\(\ 6-(-1) \ \)（石川県）
（25）\(\ (-13)+(-8) \ \)（山梨県）
（28）\(\ (-3)+(-1) \ \)（長野県）
（33）\(\ 8+(-13) \ \)（三重県）
（40）\(\ -7-(-2) \ \)（兵庫県）
（41）\(\ -2-5 \ \)（奈良県）
（43）\(\ 3-7 \ \)（和歌山県）
（45）\(\ 3+(-5) \ \)（鳥取県）
（48）\(\ -3-(-7) \ \)（岡山県）
（50）\(\ 6-5-(-2) \ \)（広島県）
（51）\(\ -7+9 \ \)（山口県）
（54）\(\ 2-(-5)-4 \ \)（香川県）
（57）\(\ 2-(-5)-9 \ \)（高知県）
（59）\(\ 5-(-7) \ \)（佐賀県）
（62）\(\ \displaystyle \frac{1}{3}+ \frac{2}{7} \ \)（熊本県）
（64）\(\ -2+7 \ \)（大分県）
（66）\(\ -3-6 \ \)（宮崎県）
（71）\(\ 2+(-9) \ \)（沖縄県）
（5）\(\ -2\times 3 +8 \ \)（岩手県）
（8）\(\ 4-(-6)\times 2 \ \)（秋田県）
（11）\(\ 3\times (-8) \ \)（福島県）
（15）\(\ -3+(-4)\times 5 \ \)（埼玉県）
（16）\(\ -5\times (-8) \ \)（千葉県）
（21）\(\ 7-2\times 8 \ \)（富山県）
（26）\(\ \displaystyle \left( \frac{1}{6} – \frac{4}{9}\right)\times 18 \ \)（山梨県）
（32）\(\ 3-7\times (5-8) \ \)（愛知県）
（34）\(\ 2\times (-3)+1 \ \)（滋賀県）
（36）\(\ 10-2\times 8 \ \)（大阪府）
（46）\(\ \displaystyle -\frac{2}{3} \times \left( -\frac{3}{4}\right) \ \)（鳥取県）
（49）\(\ (-5)\times 4 \ \)（岡山県）
（52）\(\ \displaystyle \frac{15}{2} \times \left( -\frac{4}{5}\right) \ \)（山口県）
（56）\(\ (-3)\times 5 \ \)（愛媛県）
（58）\(\ 7+2\times (-6) \ \)（福岡県）
（63）\(\ 8+7\times (-4) \ \)（熊本県）
（67）\(\ \displaystyle -\frac{7}{10}\times \left(- \frac{5}{21}\right) \ \)（宮崎県）
（69）\(\ 5\times 4+7\ \)（鹿児島県）
（72）\(\ \displaystyle \frac{7}{5} \times (-10) \ \)（沖縄県）
乗法
ここでは，正負の数の乗法（掛け算）と除法（割り算）の方法を確認していきたいと思います。
積の符号……負の数が偶数個のとき積の符号は+
負の数が奇数このとき積の符号は-
積の絶対値…それぞれの数の絶対値の積
例）\( \ (-2)\times (-5)\times (-3) \ \)は負の数が3つの掛け算になっている。つまり、奇数個の負の数の積になっています。したがって、符号は-になります。積の絶対値はそれぞれの絶対値の席になるので\( \ 2\times 5\times 3 \ \)となる。
\( \ \ \ \ \ (-2)\times (-5)\times (-3) \\ = -(2\times 5\times 3) \\ =-30 \ \)
乗法の結合法則・交換法則によりかける順番を変えることができます。
累乗
同じ数をいくつか掛け合わせたものを、その数の累乗という。数字の右上にいくつ掛け合わせるかを書いている。その数を指数という。
例）\( \ 5 ^{3} =5 \times 5 \times 5 \ \)
\( \ (-2) ^{2} =(-2) \times (-2) \ \)
累乗は先に計算される。
例）\( \ -2 ^{2} =-(2 \times 2 ) \ \)
\( \ (-2) ^{2} =(-2) \times (-2) =4 \ \)と\( \ -2 ^{2} =-(2 \times 2 )=-4 \ \)の違いに注意しましょう。
逆数
正負の数の除法を確認する前に逆数を復習しておきましょう。
\( \displaystyle \frac{3}{5} \ \)と\( \displaystyle \frac{5}{3} \ \)のように積が1になる2つの数の一方を他方の逆数と言います。負の数でも逆数を考えます。
例）\( \displaystyle \ -\frac{3}{4} \ \)の逆数は\( \displaystyle \ -\frac{4}{3} \ \)である．
除法
ここでは、除法（割り算）のやり方を確認します。
ある数でわるということは、その数を逆数をかけることと同じなので、計算で\( \ \div \ \)が出てきたら、\( \ \times\ \)逆数に直して計算します。
\( \ 12 \div 3 \times 4 \ \)を\( \ 3\times 4\ \)を先に計算してしまうと、\( \ 12 \div 3 \times 4 = 12 \div 12=1\ \)になってしまい間違いになってしまうので、\( \ \div \ \)を見たら掛け算の形にすることをお勧めします。
（7）\(\ \displaystyle \frac{3}{2}\div \left( – \frac{1}{4} \right) \ \)（宮城県）
（10）\(\ \displaystyle \left( \frac{1}{3} – \frac{3}{4} \right)\div \frac{5}{6} \ \)（山形県）
（30）\(\ 18\div (-6)-9 \ \)（静岡県）
（31）\(\ 5-(-6)\div 2 \ \)（愛知県）
（35）\(\ (-4)^2-9\div (-3) \ \)（京都府）
（37）\(\ \displaystyle -12 \div \left( – \frac{6}{7}\right) \ \)（大阪府）
（44）\(\ \displaystyle -1+4 \div \frac{2}{3} \ \)（和歌山県）
（47）\(\ 4-12\div 2 \ \)（島根県）
（53）\(\ 12\div (-4) \ \)（徳島県）
（55）\(\ \displaystyle 3\div \frac{1}{4}\times (-2^2) \ \)（香川県）
（60）\(\ \displaystyle -8\div \frac{4}{3} \ \)（佐賀県）
（61）\(\ (3^2-1)\div (-2) \ \)（長崎県）
（70）\(\ \displaystyle \frac{2}{3}-\frac{3}{5}\div \frac{9}{2}\ \)（鹿児島県）
（73）\(\ 6-4\div (-2) \ \)（沖縄県）
計算の順番
ここでは、四則（加法・減法・乗法・除法）の混じった計算をしていきます。四則の混ざった計算では、計算をする順番を間違わないようにしないといけません。
累乗のある式は，累乗を先に計算します。乗法や除法は、加法や減法よりも先に計算する。かっこのある式は、かっこの中を先に計算します。
（4）\(\ (-3)^2+4 \times (-2) \ \)（青森県）
（17）\(\ \displaystyle -9+(-2)^3\times \frac{1}{4} \ \)（千葉県）
（18）\(\ \displaystyle -3^2\times \frac{1}{9}+8 \ \)（東京都）
（17）\(\ \displaystyle -9+(-2)^3\times \frac{1}{4} \ \)（千葉県）
（18）\(\ \displaystyle -3^2\times \frac{1}{9}+8 \ \)（東京都）
（23）\(\ (-2)^2-5\times 3 \ \)（石川県）
（24）\(\ (-3)^2-4\times 3 \ \)（福井県）
（27）\(\ -4^2+7^2 \ \)（山梨県）
（29）\(\ 5-3^2 \ \)（岐阜県）
（38）\(\ 5^2+(-21) \ \)（大阪府）
（39）\(\ 2\times (-3)^2-22 \ \)（大阪府）
（42）\(\ -3^2\times 9 \ \)（奈良県）
（65）\(\ 5-3^2\times 2 \ \)（大分県）
（68）\(\ 1-(-3)^2 \ \)（宮崎県）
分配法則
分配法則
\begin{align*} \triangle \times (\bigcirc + \ast )&= \triangle \times \bigcirc + \triangle \times \ast \\ (\bigcirc +\ast ) \times \triangle &= \bigcirc \times \triangle + \bigcirc\times \ast \end{align*}
分配法則の利用
ここでは、分配法則を利用して計算を効率的に計算する方法を見てみましょう。
\begin{align*} &(1)\ \ -4 \times 86 – 4 \times 14 \\ &(2)\ \ (-12)\times (-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}) \end{align*}
素因数分解
素因数分解
素因数分解とは，素数（1とその数以外に約数を持たない数）の積に分解することです。 たとえば，\( \ 90=2\times 3 ^{2} \times 5 \ \)． ちなみに、ある数を割り切れる数をその数の因数と言います。
素因数分解をするには筆算が便利
次の数を素因数分解しなさい。
（1）48
（2）54
（3）60
素因数分解と約数
次の数の約数をすべて求めなさい。
（1）48
（2）54
（3）60
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