数直線上の2点間の距離
数直線上では，点\( \ P\ \)に1つの実数\(\ a\ \)が対応している．このとき，\(a\ \)を点\( \ P \ \)の座標といい，座標が\( \ a \ \)である点\( \ P\ \)を\(\ P(a) \ \)で表す．
数直線上で，原点\(\ O\ \)と点\(\ P(a) \ \)の距離を，\( a\ \)の絶対値といい，\( |a|\ \)で表す．すなわち，2点\( \ \ O,\ P\ \)間の距離\(\ OP \ \)は
\[ OP=|a| \]
で表される．
数直線上の2点間の距離
数直線上の2点\(\ A(a),\ B(b) \ \)間の距離\(\ AB \ \)は
\(a ≦ b\ \)のとき，\(AB=b-a \)
\(a > b\ \)のとき，\(AB=a-b=-(b-a) \)
であるから，次の式で表すことができる．
\[ AB=|b-a|\]
線分の内分点・外分点
線分の内分点・外分点
\( m,\ n\ \)を正の数とする．
点\( \ P\ \)が線分\( \ \rm{AB} \ \)上にあって
\[ \rm{AB}:\rm{PB}=m:n \]
が成立するとき，点\( \ \rm{P}\ \)は線分\( \ \rm{AB}\ \)を\(\ m:n \ \)に内分するといい，\( \rm{P}\ \)を内分点という．
また，点\(\ \rm{Q} \ \)が線分\( \ \rm{AB} \ \)の延長上にあって
\[ \rm{AQ}:\rm{QB}=m:n \]
が成立するとき，点\( \ \rm{Q}\ \)は線分\( \ \rm{AB}\ \)を\(\ m:n \ \)に外分するといい，\( \rm{Q}\ \)を外分点という．このとき，\( m\ne n\ \)である．
数直線上の線分の内分点・外分点
ここでは，数直線上の2点\(\ \rm{A}(a)\)，\(\ \rm{B}(b)\ \)に対して，線分\( \ \rm{AB}\ \)を\(\ m:n \ \)に内分する点\( \ \rm{P}(x)\ \)の座標を求めて行きます。
\( [\mathrm{I}]\)\(\ a<b \ \)のとき，\( a<x<b\ \)であるので，
\[ \rm{AP}=x-b,\ \rm{PB}=b-x \]
\(\rm{AP}:\rm{PB}=m:n\ \)となるので，
\[ (x-a):(b-x)=m:n\]
よって，
\begin{align*} n(x-a)&=m(b-x) \\ nx-na&=mb-mx \\ nx+mx&=na+mb \\ (n+m)x&=na+mb \end{align*}
したがって，
\[ x=\frac{na+mb}{m+n} \cdots\cdots ① \]
\( \mathrm{I}\hspace{-.1em}\mathrm{I}\)\(\ a>b \)のとき，同様にして①が得られる．（演習にしておくので，ぜひ理解の確認に利用してください.）
特に，\(m=n=1 \) のとき点Pは線分\( \ AB\ \) の中点となり、その座標は\( \dfrac{a+b}{2}\)である．
外分点
次に\( m >n >0\)とするとき、線分\( AB\)を\( m:m$\)に外分する点\( Q\left( x\right) \)の座標を求める。\( a <b\)のとき
\( a <b <x\)であるので， \begin{aligned}AQ & =x-a \\ BQ & =x-b \end{aligned}
となる．
\( AQ:QB=m:n\) なので
\begin{aligned}( x-a) : (x-b) &=m:n \\ m ( x-b ) &=n ( x-a)\\ mx- bm &=nx-na \\ ( m-n) x&=-na+ bm \end{aligned}
よって
$$x=\dfrac{-na+nb}{m-n}\cdots ②$$
\( a >b\)
のとき
\( x <b <a\)であるので，\begin{aligned}AQ & =a-x \\BQ & =b-x\end{aligned}
\( AQ:QB=m:n\)なので
\begin{aligned}\left( a-x\right) :\left( b-x\right) & =m:n\\ m\left( b-x\right) & =n\left( a-x\right) \\
mb -mx & =na-nx \\ \left( n-m\right) x & =na-mb \\ x &=\dfrac{na-mb}{n-m}\\ x & =\dfrac{-na+mb}{n+m}\end{aligned}
となり、これは上の②と一致する。
\(n >m >0\)のときも同様に②と一致する。
（演習にしておくので，ぜひ理解の確認に利用してください.）ま
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