面積と積分
定積分
\(F'(x)=f(x) \)のとき\[ \int^{b}_{a}f(x)\ dx=\Bigl[ F(x) \Bigr]^{b}_{a}=F(b)-F(a) \] 定積分\( \displaystyle \int^{b}_{a}f(x)\ dx\)において、aを下端、bを上端といいます。また、この定積分を求めることを、関数\( f(x)\)をaからbまで積分するといいます。aとbの大小関係は、\( a< b,\ a=b ,a>b\) のいずれでもかまいません。
定積分の性質
\( \displaystyle (1) \ \ \int^{b}_{a} k f(x)\ dx= k \int^{b}_{a}f(x)\ dx\) \( k\) は定数
\( \displaystyle (2)\ \ \int^{b}_{a} \left\{ f(x) + g(x)\right\} \ dx= \int^{b}_{a}f(x)\ dx \ +\int^{b}_{a}g(x)\ dx \)
\( \displaystyle (3)\ \ \int^{b}_{a}\left\{ f(x) – g(x)\right\} \ dx= \int^{b}_{a}f(x)\ dx \ -\int^{b}_{a}g(x)\ dx \)
\( \displaystyle (1) \ \ \int^{a}_{a} f(x)\ dx= 0\ dx\)
\( \displaystyle (2)\ \ \int^{a}_{b} f(x) \ dx= -\int^{b}_{a}f(x)\ dx \)
\( \displaystyle (3)\ \ \int^{b}_{a} f(x) \ dx= \int^{c}_{a} f(x) \ dx\ + \int^{b}_{c} f(x) \ dx \)
(3)は\(a,b,c \)の大小関係に関係なく成立する。
定積分と微分法
\( a\)を定数とする。\( x\)の関数\( \displaystyle \int^{x}_{a}f(t)\ dt \)の導関数は\( f(x)\)となる。つまり、\[ \frac{d}{dx}\int^{x}_{a}f(t)\ dt=f(x) \]
＜注意＞\(\displaystyle \int^{x}_{a}f(t)\ dt\) の導関数を\( \displaystyle \frac{d}{dx}\int^{x}_{a}f(t)\ dt\) で表します。
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