ここでは、三角比で学習した正弦、余弦、正接を一般角について定義して行きます。
一般角の三角関数
座標平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をかく。x軸の正の部分を始線として一般角θの動径と円Oとの交点Pの座標を(x,y)とする。
このとき\( \frac{y}{r},\frac{x}{r} ,\frac{y}{x} \)の値は円Oの半径rに無関係で角θの値にだけよって定まる。
そこで、三角比の場合と同様に
\[ \sin{\theta}=\frac{y}{r} ,\ \ \cos {\theta}= \frac{x}{r},\ \ \tan{\theta}=\frac{y}{x} \]
と定め、これらをそれぞれ、一般角θの正弦、余弦、正接といいます。
ただし、\[ θ=\frac{\pi}{2}+ n\pi\ \ (nは整数) \]に対してはx=0となるので\( \tan {\theta}\)の値を定義しない。
\( \sin{} ,\ \cos^{} ,\ \tan {} \)はいずれもθの関数となっている。これらをまとめて三角関数といいます。なお\( 0≦θ≦\pi \) の場合、数Iで学習した三角比の値と一致している。
\[ \sin{\theta}=\frac{y}{r} ,\ \ \cos {\theta}= \frac{x}{r},\ \ \tan{\theta}=\frac{y}{x} \]
三角関数の正負
三角関数と単位円
原点を中心とする半径1の円を単位円といいます。
ここでは、単位円を用いて三角関数の性質を調べて行きたいと思います。
\[ -1≦\sin \theta ≦1,\ \ -1≦\cos \theta ≦1 \\ \tan \theta の値の範囲は実数全体 \]
m
\[ 1. \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta } \\ 2. 1 + \tan^{2}\theta =\frac{1}{\cos ^{2} \theta } \\ 3. \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta =1 \]
\[ \sin (\theta + 2n \pi)=\sin \theta \\ \cos (\theta + 2n \pi)=\cos \theta \ \ \ \ (nは整数) \\ \tan (\theta + 2n \pi)=\tan \theta \]
\[ \sin (-\theta )=-\sin \theta \\ \cos (-\theta )=\cos \theta \\ \tan (-\theta )=-\tan \theta \]
\[ \sin (\theta + \pi )=-\sin \theta \\ \cos (\theta + \pi)=-\cos \theta \\ \tan (\theta + \pi)=\tan \theta \]
\[ \sin (\theta + \frac{\pi}{2} )=\cos \theta \\ \cos (\theta + \frac{\pi}{2})=-\sin \theta \\ \tan (\theta + \frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta } \]
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