ここでは、\(\displaystyle \frac{1}{6} \)公式と呼ばれる公式を学習して行きましょう。
\(\displaystyle \frac{1}{6} 公式 \)
\[ \int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta )\ dx\ =-\frac{1}{6}(\beta-\alpha) ^{3} \]
\(\displaystyle \frac{1}{6} 公式 \)を使ってみましょう
\(\displaystyle \frac{1}{6} 公式 \) の証明
\begin{align*} & \ \ \ \ \int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta )\ dx\ \\ &=
\int^{\beta}_{\alpha} \left\{ x ^{2} – (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\}\ dx\ \\ &=
\Big[ \frac{1}{3}x ^{3} – \frac{1}{2}(\alpha + \beta )x ^{2} + \alpha \beta x \Big]^{\beta }_{\alpha }\\ &=
\frac{1}{3}\beta ^{3} – \frac{1}{2}(\alpha + \beta )\beta ^{2} + \alpha \beta ^{2} \\ &
\ \ \ \ \ \ \ \ \ – \frac{1}{3} \alpha ^{3} + \frac{1}{2}(\alpha + \beta )\alpha ^{2} – \alpha ^{2} \beta \\ &=
\frac{1}{3}(\beta ^{3} -\alpha ^{3} ) – \frac{1}{2} (\alpha + \beta )(\beta ^{2} -\alpha ^{2} ) + \alpha \beta (\beta -\alpha ) \\ &=
\frac{1}{3}(\beta – \alpha ) (\beta ^{2} + \alpha \beta + \alpha ^{2} )-\frac{1}{2}(\alpha + \beta )(\beta + \alpha )(\beta – \alpha )+ \alpha \beta (\beta – \alpha )\\ &=
\frac{1}{6}(\beta – \alpha ) \left\{ 2(\beta ^{2} + \alpha \beta + \alpha ^{2} ) – 3(\alpha + \beta )^{3} + 6 \alpha \beta \right\}\\ &=
\frac{1}{6}(\beta – \alpha )(2 \beta ^{2} + 2 \alpha \beta + \alpha ^{2} – 3 \alpha ^{3} – 6 \alpha \beta – 3 \beta ^{2} 6 \alpha \beta )\\ &=
\frac{1}{6}(\beta -\alpha )(- \beta ^{2} + 2 \alpha \beta – \alpha ^{2} )\\& =
-\frac{1}{6}(\beta – \alpha )(\beta ^{2} – 2 \alpha \beta + \alpha ^{2} ) \\ &=
– \frac{1}{6}(\beta -\alpha )(\beta -\alpha )^{2} \\&=
– \frac{1}{6}(\beta -\alpha )^{3}
\end{align*}
したがって\[ \int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta )\ dx\ =-\frac{1}{6}(\beta-\alpha) ^{3} \]が成立する。
（証明終了）
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