2乗（平方）すると\( a\)になる数を\( a\)の平方根といいます。実数は2乗して負になることはないので、負の数の平方根は実数の範囲には、存在しません。ここでは、負ではない数（0または正の数）の平方根を学習します。
平方根
平方根の定義
まず初めに平方根の定義を確認しましょう．
平方根：
実数\(\ a\ \)に対して，2乗（平方）すると\( \ a\ \) になる数を\( \ a \ \)の平方根といいます．
（I）\( a>0\)のとき
\( a\)の平方根は正と負の2つあり、それらは絶対値が等しく符号が異なります。その正の平方根を\( \sqrt{a}\)と表す。負の平方根は\( -\sqrt{a}\)となります。
（II）\( a=0\)のとき
\( a\) の平方根は0だけであり、\( \sqrt{0}=0\)と表します。
（Ⅲ）\(a<0 \)のとき
どのような実数も2乗すると負にはならないので、\( a\)の平方根は、実数の範囲に存在しません。
（補足）記号\(\sqrt{\ } \)を根号といい、\(\sqrt{a} \)を”ルート\( a\) ”と読みます。\(a \)≧0のとき、\( \sqrt{a}≧0\)となります。\( a\)の平方根\( \sqrt{a},\ -\sqrt{a}\)を合わせて\(\pm \sqrt{a} \)とかきます。（記号\( \pm\) ）を複号といい、”プラスマイナス”と読みます。
平方根の二乗：
平方根と絶対値：
\( a≧0\)のとき\( \sqrt{a ^{2} }=a\)，\(a<0 \)のとき\( \sqrt{a ^{2} }=-a\)が成り立つ。すなわち、\( \sqrt{a ^{2} }=|a|\)となる。
根号を含む式の計算
平方根について，次の公式が成立します．
平方根の公式：
\( a>0,\ b>0,\ k>0 \ \)のとき
\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b} } \)
\( \sqrt{k ^{2} a}=k \sqrt{a} \)
が成立する。
分母の有理化
分母の有理化：
\( \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2} } \ \)の分母には根号が含まれているが、分母と分子に\( \sqrt{2} \)をかけると
\begin{align*} \frac{3}{\sqrt{2} } &= \frac{3 \times \sqrt{2} }{\sqrt{2 } \times \sqrt{2}} =\frac{3 \sqrt{2}} {2} \end{align*}
となる．
このように，分母を根号を含む式を変形して，分母に根号の含まない式に変形することを，分母を有理化するといいます。
式の値
2重根号
２重根号：
\(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)のように\( \sqrt{\triangle}\)の中に\( \sqrt{\triangle}\) を含んでいる式のことを2重根号といいます．
２重根号をはずす：
\begin{align*} a>0,\ b>0のとき\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ a>b>0のとき\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \end{align*}
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