ここでは，直接証明するのが難しい命題を間接的に証明する方法として，対偶を利用する方法や背理法について学習します．
命題の逆・裏・対偶
命題「\( p\rightarrow q\)」と関連する命題を考えていく。
命題「\( p\rightarrow q\)」に対して、
命題「\( q\rightarrow p\)」を「\( p\rightarrow q\)」の逆
命題「\( \overline{p}\rightarrow \overline{q}\)」を「\( p\rightarrow q\)」の裏
命題「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\)」を「\( p\rightarrow q\)」の対偶
といいます。
上の例から、命題が真であっても、その命題の逆は真とは限らない。また、裏も真とは限らない。
対偶を利用する証明法
条件\( p,\ q\)を満たすもの全体の集合をそれぞれ\(P,\ Q \)とすると命題「\( p\rightarrow q\) 」が真であることは、\( P \subset Q\)が成り立つことである。
これは、\( Q^c \subset P^c\)が成り立つことと同じで、これは命題「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」が真であることと同じである。
つまり、命題「\( p\rightarrow q\) 」が真であることと、その対偶「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」が真であることは同じである。
命題と対偶：
命題「\( p\rightarrow q\) 」と、その対偶「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」とは、真偽が一致する。
背理法
ある命題を証明するとき
「その命題が成り立たないと仮定すると、矛盾が生じる。したがって、その命題は成り立たなければならない。」
とする論法がある。このような論法を背理法という。
例題：
８個の球を赤，黄，青の３つの箱のどれかに入れる．このとき，入っている球が２個以下の箱があることを証明せよ．
f
例題：
\( \sqrt{2}\ \)が無理数であることを証明せよ．
問：
\( \sqrt{3}\ \)が無理数であることを証明せよ．
問：
\( 2 + 3\sqrt{2}\ \)が無理数であることを証明せよ．
ただし，\( \sqrt{2}\ \)が無理数であることを用いてよい．
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