前回は整式とは何なのかを学習しました。今回は、整式の加法（足し算）・減法（引き算）・乗法（掛け算）について学習します。
整式の加法・減法・乗法は，数の場合と同様に，
交換法則：
結合法則：
分配法則：
を基礎として行われます．
整式の加法・減法
整式の和・差は、同類項をまとめることにより計算することができます。
整式の加法
2つの整式\( \ A,\ B\ \)が与えられたとき， 整式の加法（足し算）は\( \ A\ \)と\( \ B\ \)の項をすべて足します。このとき，同類項があれば整理します。
例：整式の加法
（1）\( (2x^2 -x + 1)+ (x^2 -3)\) \begin{align*} &(2x^2 -x + 1)+ (x^2 -3)\\ =&2x^2 -x + 1 + x^2 -3\\ =& 2x^2 + x^2 -x + 1 -3 \\ =& (2 + 1)x^2 -x + (1-3)\\ =& 2 x^2 -x-2 \end{align*}
（2）\( (-3x^2 – 1)+ (2x^2 -7x+2 )\) \begin{align*} &(-3x^2 – 1)+ (2x^2 -7x+2 )\\ =&-3x^2 – 1 + 2x^2 -7x+2\\ =& -3x^2 + 2x^2 -7x – 1 +2 \\ =& (-3 + 2)x^2 -7x + (-1+2)\\ =& – x^2 -7x+1 \end{align*}
上の例は筆算を利用して行うこともできます．同類項の位置を上下でそろえてそれぞれの計算を行います．
（1）
（2）
整式の減法
2つの整式\(\ A,\ B\ \)が与えられたとき， 整式の減法（引き算）は\(\ A + (-B)\ \)と考えて，\( \ B\ \) の各項の符号を変えたものを\(\ A \ \)に足して，同類項をまとめます。
例：整式の減法
（1）\( (2x^2 -x + 1)- (x^2 -3)\) \begin{align*} &(2x^2 -x + 1)- (x^2 -3)\\=& (2x^2 -x + 1)+ (-x^2 + 3) \\ =&2x^2 -x + 1 – x^2 + 3\\ =& 2x^2 – x^2 -x + 1 + 3 \\ =& (2 – 1)x^2 -x + (1 + 3)\\ =& x^2 -x + 4 \end{align*}
（2）\( (-3x^2 – 1)- (2x^2 -7x+2 )\) \begin{align*} &(-3x^2 – 1)- (2x^2 -7x+2 )\\ =&(-3x^2 – 1)+ (-2x^2 + 7x – 2 )\\=&-3x^2 – 1 – 2x^2 + 7x – 2\\ =& -3x^2 – 2x^2 + 7x – 1 – 2 \\ =& (-3 – 2)x^2 + 7x + (-1-2)\\ =& -5 x^2
+7x-3 \end{align*}
上の例は筆算を利用して行うこともできます．同類項の位置を上下でそろえてそれぞれの計算を行います．
（1）
（2）
整式の定数倍
整式の定数倍はすでに中学校で学習したように，分配法則を使って計算します。
例：整式の定数倍
- \(2(x ^{2} + 3 -1)=2 x ^{2} + 6-2 \)
- \( -2(x ^{2} + 3 – 1)=-2 x ^{2} – 6 + 2\)
符号が\( \ – \ \)のとき\(\ -(a-b)\ \)を\(\ -a -b\ \)と計算してしまうミスをしないように注意してください
整式の加法・減法の計算練習
ここでは，今まで個別に学習してきた整式の加法，定数倍，減法を組み合わせた計算を学習していきます。
整式の乗法
整式の乗法では，単項式の積の計算が基本になります。そこで，まずは指数法則・単項式の乗法について学習しましょう。
指数法則
累乗・\( n\ \)乗・指数：
\( a\ \)をいくつか掛けたものを\(\ a\ \)の累乗といいます．\(a\ \)を\( \ n \ \)個かけた累乗を\( \ a \ \)の\( \ n \ \)乗といい\( \ a^n\ \)と表す。このとき，\( \ n \ \)を\( \ a^n \ \)の指数といいます．
例：累乗
- \( a^1=a\)
- \( a^2=a\times a\)
- \( a^n=\underbrace{a\times a\times \cdots\cdots \times a}_{n\ 個}\)
- \( a^n=\underbrace{a\times a\times \\ \ \ \cdots\cdots \times a}_{n\ 個}\)
累乗の積は，次のように計算されます．
例：累乗の積
- \( a ^{3}a ^{2} =\underbrace{aaa}_{3個}\times \underbrace{aa}_{2個}=a^{3 + 2}=a^5 \)
- \( (a ^{2})^{3} =\underbrace{\underbrace{aa}_{2個}\times \underbrace{aa}_{2個}\times \underbrace{aa}_{2個}}_{3組}=a^{2\times3}=a^6 \)
- \((a b) ^{3}=\underbrace{ab\times ab \times ab}_{3組}=\underbrace{aaa}_{3個}\times\underbrace{bbb}_{3個}=a ^{3}b ^{3} \)
一般に，次の指数法則が成り立ちます．
指数法則：
m、nが正の整数のとき
\( a^ma^n=a^{m+n}\),\( (a^m)^n=a^{mn}\),\( (ab)^n=a^nb^n\)
単項式の乗法
単項式の積は，係数、文字の部分の積をそれぞれ計算していきます。指数法則を使うと計算間違いが少なく計算することができます。
例：単項式の乗法
（1）\begin{align*}2a ^{3}\times 3a ^{4} &= (2\times 3)a ^{3 + 4} \\ &=a ^{7} \end{align*}
（2）\begin{align*} 3 x y^{2} z^{3}\times 4 x ^{2} y ^{3} z ^{4} &=(3 \times 4) x ^{1 + 2}y ^{2 + 3 }z ^{3 + 4} \\ &= 12 x ^{3}y ^{5}z ^{7} \end{align*}
（3）\begin{align*} (2 x ^{2} y ^{3}) ^{2}\times (-3 x ^{2} y)&= 2 ^{2}(x ^{2} )^{2} (y ^{3} )^{2} \times (-3) x ^{2} y \\ &= 4 x ^{2\times 2}y ^{3\times 2} \times (-3)x ^{2} y \\ &= 4 x ^{4}y ^{6}\times (-3)x ^{2} y \\ &=\{ 4\times (-3)\} x ^{4 + 2}y ^{6 + 1}\\ &= -12 x ^{6}y ^{7} \end{align*}
整式の乗法
整式の乗法は分配法則を用いて計算します。
この法則を使えば\(\ A(B + C + D)\ \)でも同様に計算することができます。
例：単項式の乗法
整式（多項式）の積は，分配法則を用いて，次のように計算します．
この法則を使えば\(\ A(B + C + D)\ \)でも同様に計算することができます。
例：整式（多項式）の乗法
上の例で用いた\( \ cdot \ \)は，積を表す記号で，\(\ \times \ \)と同じ意味です．\( \cdot \ \)を使えば\(\ x\ \)（エックス）と見間違えることがなくなります．でも，\( \times\ \)は\( \cdot\ \)より 大きくて掛け算であることが分かりやすいこともあるので，状況に応じて好きな方を使ってください．
展開：
いくつかの整式の積の形をした式において，積を計算して単項式の和の形に表すことを，その式を展開するといいます．
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