2次関数\(y= a x ^{2} + b x + c \)のグラフが放物線と呼ばれることは、数学Iで学習しました。ここでは、放物線について深掘りして学習していきます。
放物線の方程式
放物線
一般に、放物線は、
平面上で”定点\( F\)からの距離と，\(F \)を通らない定直線\( l\)からの距離が等しい点\( P\)の軌跡”を放物線といい，点\( F\)を焦点，直線\( l\)を準線といいます。
放物線の方程式
一般に，放物線において，焦点を通り準線に垂直な直線を放物線の軸といい，軸と放物線との交点を放物線の頂点といいます。
放物線は，軸に関して対称になります。
放物線\(y ^{2} =4px \)の性質 ただし，\( p\ne 0\)
[1] 頂点は原点\( (0,0) \)，焦点は点\((p,0) \)，準線は直線\(x=-p \)
[2] 軸は\( x\)軸で，放物線は軸に関して対称である．
[3] 放物線上の点から，焦点と準線までの距離は等しい．
\( y\)軸を軸とする放物線
放物線\(x ^{2} =4py \)の性質 ただし，\( p\ne 0\)
[1] 頂点は原点\( (0,0) \)，焦点は点\((0,p) \)，準線は直線\(y=-p \)
[2] 軸は\( y\)軸で，放物線は軸に関して対称である．
[3] 放物線上の点から，焦点と準線までの距離は等しい．
\( a\ne 0\)のとき，方程式\( y=a x ^{2} \)は，\(\displaystyle x ^{2} =4 \cdot \frac{1}{4a}y \)と変形することができるので，放物線\( y=a x ^{2} \)の焦点は点\( \displaystyle \left( 0, \frac{1}{4a} \right)\)，準線は\(\displaystyle y=-\frac{1}{4a} \)であることがわかる．
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