【高校数学】曲線の長さと道のり【積分とその応用】

曲線\( x=f(t)\), \( y=g(t)\)\( (a≦t ≦ b)\)の長さを\( L\)とすると

\begin{align*} L&= \int^{b}_{a}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt} \right)^{2}  }\ dt \\ &= \int^{b}_{a}\sqrt{\left\{  f'(t) \right\}^{2} + \left\{  g'(t) \right\}^{2}  }  \ dt\end{align*}    

曲線\( y=f(x)\)\( (a≦t ≦ b)\)の長さを\( L\)とすると

\begin{align*} L&= \int^{b}_{a}\sqrt{ 1 + \left(\frac{dy}{dx} \right)^{2}  }\ dx \\ &= \int^{b}_{a}\sqrt{  1 + \left\{  f'(x) \right\}^{2}  }  \ dx\end{align*}