【大学数学】論証【集合論（第3回）】

論証

命題「\( p\rightarrow q\)」と関連する命題を考えていく。

命題「\( p\rightarrow q\)」に対して、

命題「\( q\rightarrow p\)」を「\( p\rightarrow q\)」の逆

命題「\( \overline{p}\rightarrow \overline{q}\)」を「\( p\rightarrow q\)」の裏

命題「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\)」を「\( p\rightarrow q\)」の対偶

といいます。

例

上の例から、命題が真であっても、その命題の逆は真とは限らない。また、裏も真とは限らない。

条件\( p,\ q\)を満たすもの全体の集合をそれぞれ\(P,\ Q \)とすると命題「\( p\rightarrow q\) 」が真であることは、\( P \subset Q\)が成り立つことである。

これは、\( Q^c \subset P^c\)が成り立つことと同じで、これは命題「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」が真であることと同じである。

つまり、命題「\( p\rightarrow q\) 」が真であることと、その対偶「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」が真であることは同じである。

命題と対偶

命題「\( p\rightarrow q\) 」と、その対偶「\( \overline{q}\rightarrow \overline{p}\) 」とは、真偽が一致する。

例

ある命題を証明するとき

「その命題が成り立たないと仮定すると、矛盾が生じる。したがって、その命題は成り立たなければならない。」

とする論法がある。このような論法を背理法という。