1桁の自然数は”1,2,3,……,9”である。このように範囲がはっきりしたものの集まりを集合といい、集合を構成している1つ1つのものを、その集合の要素といいます。例えば、”1桁の自然数全体の集合”の要素の個数は9個である。ここでは集合の要素が有限であるとき、その集合の要素の個数について学習していきます。
集合の要素の個数
有限個の要素からなる集合を有限集合といい，無限に多くの要素からなる集合を無限集合といいます。
集合\( A\)が有限集合であるとき，その個数を\( n(A)\)で表します。
空集合\( \emptyset\)は要素が1つもない集合であるので，\(n(\emptyset )=0 \)である。
例）1桁の素数全体の集合\[ P=\{ 2,3,5,7 \} \]について\( n(P)=4\)
和集合の要素の個数
全体集合\( U\)の2つの部分集合\( A\)と\( B\)について\( n(A)=a\)，\(n(B)=b \)，\(n(A \cap B)=c \)とすると下の図から分かるように\begin{align*} n(A \cap B)&=(a-c )+ c + (b-c)\\&=a + b – c \\&=n(A)+ n(B)- n(A \cap B) \end{align*}
特に\( A\cap B =\emptyset \)のときは\( n(A\cap B)=0\)であるので\[n(A \cap B)=n(A )+ n(B)\]
和集合と要素の個数
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