一般項が\( a_n \)が\( a_n = 5^n-1 \)である数列 \( \{a_n \} \)を考える。
\( n=1\)のとき \( a_1=5^1-1=4\)となるので（A）は成立する
\( n=1,\ 2, \ 3\)を代入したとき（A）が成立する。しかし、 自然数は無限個あるので、\( n\)に自然数を代入して成り立つことを確かめても、すべての自然数について成立するとはいうことができない。ここでは、”自然数\( n\)を含む等式や不等式などがすべての自然数について成立する”と結論するための新しい証明法を学習します。
数学的帰納法
数学的帰納法
数学的帰納法の原理
自然数\( \ n \ \)に関する命題\(\ P \ \)が全ての自然数\(\ n\ \)に対して成立することを証明するには、次の（Ⅰ）、（Ⅱ）を示すと良い。
（Ⅰ）\( n=1\ \)のとき、\( P \ \)が成立する。
（Ⅱ）\( n=k\ \)のとき\( \ P \ \)、が成立すると仮定すると、\( n=k + 1\ \)のときにも\(\ P \ \)が成立する。
数学的帰納法の利用
ここでは、数学的帰納法を利用して、等式の証明や不等式、数列の問題を解いていきましょう。
数学的帰納法と等式の証明
数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。
\begin{align*} 1 + 2 + 3 + \cdots \cdots + n &= \frac{1}{2} n(n + 1) \end{align*}
証明）
この等式を①とする。
［1］\(n\ = \ 1 \ \)のとき
\begin{align*} (左辺) &\ = \ 1 \ ,\\ \\(右辺)&\ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 1)\\ &\ =\ 1 \end{align*}
となり, \( n\ = \ 1\)のとき①は成り立つ．
［2］ \(n\ = \ k \ \)のとき
数学的帰納法と不等式の証明
\( n\ \)を\( \ 3 \ \)以上の自然数とするとき，次の不等式を証明せよ。
\begin{align*} 2^n &< 2n + 1 \end{align*}
数学的帰納法と漸化式
\( a_1=3 ，{a_n}^2 = ( n + 1 ) a_{n + 1} + 1 \ \)によって定められる数列\( \ \{a_{n}\}\ \)がある。
（1）\( a_2,\ a_3,\ a_4\ \)を求めよ。
（2）第\(\ n \ \)項\( \ a_n \ \)を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ。
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