【数II】余剰の定理と因数定理【複素数と方程式（第4回）】

ここでは、\( x\)の3次式や4次式で表される方程式を解くための準備として，\( x\)の整式を因数分解する方法について学んでいく。

剰余の定理

以下では，\( x\)の整式を\( P(x),\ Q(x)\)などと書く。また，整式\( P(x)\)の\( x\)に数\( k\)を代入したときの値を\( P(k)\)と書く。

整式\( P(x)\)を\(x \)の1次式\(x-k \)で割った商が\( Q(x)\)，余りが\( R\)であることは，次の等式で表される。

\( P(x)=(x-k)Q(x)+ R\)

ここで，両辺の\( x\)に\( k\)を代入すると，\(P(k)=R\)が得られる。

したがって，次の剰余の定理が成立します。

因数定理

剰余の定理によって、次が成り立つ。

整式\( P(x)\)が1次式\( x-\alpha \)で割り切れる\( \iff\)\( P(\alpha)=0\)

よって，\( P(\alpha)=0\)のとき、

\( P(x)=(x- \alpha )Q(x)\)の形である。以上から，次の因数定理が成り立ちます。

因数定理（微積分学習済み）

ここでは、微分を使った