数の広がり
2次方程式\(x ^{2} =2 \)は有理数の範囲では解を持たない。そこで、考えている数の範囲を有理数だけでなく実数の範囲まで広げると、この方程式は解\(x=\pm \sqrt{2} \)を持ちます。
しかし、実数の2乗は負にはならないので、\(x ^{2} =-2 \)は実数の範囲では、解を持たない。そこで、 2次方程式\(x ^{2} =k \)が実数\( k\)の符号に関係なく常に解を持つように、数の範囲を実数からさらに広げていくことを考えて行きます。
複素数
虚数単位
2つの複素数が等しいのは，実部，虚部が，それぞれ一致する場合とします。すなわち，次のように定める。
\(a,\ b,\ c, \ d \)は実数とする。
\( a + b i=c + d i\)\( \iff \)\( a =c\)かつ\( b=d\)
とくに
\( a + b i=0\)\( \iff \)\( a =0\)かつ\( b=0\)
以下，複素数\( a + bi\)や\( c + di\)などでは，文字\( a,\ b,\ c,\ d\)は実数を表すものとします。
複素数の計算
ここでは、複素数の加法（足し算）、減法（引き算）、乗法（掛け算）、除法（割り算）について学習して行きます。
複素数の加法・減法
複素数の加法・減法は、実部と虚部のそれぞれの和、差を計算します。つまり、\( i\)を文字のように扱って計算して行きます。
例）
複素数の乗法
複素数の乗法\( i\)を文字のように計算をして行きます。ただし、\( i ^{2} \)が現れたら、それを-1に置き換えて計算をして行きます。
共役な複素数
複素数\(a + i \)と\(a – i \)を共役な複素数といいます。
実数\( a\)は\( a + 0 i\)なので共役な複素数は\( a – 0 i\)つまり、\( a\)自身が共役な複素数となります。
複素数\( \alpha\)と共役な複素数を\( \bar{\alpha}\)で表します。
互いに共役な複素数\(\alpha = a + b i ,\ \bar{\alpha}=a – b i\)の和と積は\[\alpha + \bar{\alpha}=(a + b i)+ (a – b i)=2a\] \[ \alpha \bar{\alpha}=(a + b i)(a – bi )=a ^{2} – b ^{2} i ^{2} =a ^{2} + b ^{2} \]となるので、共に実数になる。
複素数の除法
複素数の除法は、次の例のように分母と共役な複素数を、分母と分子に掛けて計算を行う。
例）
複素数の計算のまとめ
加法
\( (a + bi) +(c + di)=(a + c)+ (b + d)i \)
減法
\( (a + bi) – (c + di)=(a – c)+ (b – d)i \)
乗法
\( (a + bi) (c + di)=(ac – bd)+ (ab + bc)i \)
除法
\begin{align*} \frac{c + di}{a + bi} &=\frac{(c + di)(a – bi)}{(a + bi)(a – bi)} \\ &= \frac{ac + bd}{a ^{2} + b ^{2} }+ \frac{ad – bc}{a ^{2} + b ^{2}}i \end{align*}
このように，複素数の加減乗除に結果は，つねに，実数\(a,\ b \)を用いて\( a + b i\)の
負の数の平方根
数の範囲を実数までしか考えてこなかった時は、負の数の平方根を考えることができませんでした。しかし数の範囲を複素数まで広げて考えると、負の数の平方根を考えることができます。
例えば、
\[ (\sqrt{2}i)^{2}=(\sqrt{2})^{2} i ^{2} =-2\]
\[ (-\sqrt{2}i)^{2}=(-\sqrt{2})^{2} i ^{2} =-2\]
となるので、\(\sqrt{2}i \)と\(-\sqrt{2}i \)はともに−2の平方根になっている。逆に
\begin{align*}x ^{2} &=-2 \\
0 &=x ^{2} + 2 \\
0 &=x ^{2} -(- 2)\\
0 &=(x -\sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)\\
\end{align*}となり、複素数の性質より\(x=\sqrt{2}i\)または \(x=-\sqrt{2}i\)となり、これ以外に-2の平方根はないことがわかります。
より一般に\(a>0 \)のとき、負の数\( -a\)の平方根は\(\sqrt{a}i \)と\(-\sqrt{a}i \)になる。そこで、記号\(\sqrt{-a} \)の意味を次のように定める。
\[ a>0のとき\ \ \ \sqrt{-a}=\sqrt{a}i 特に\sqrt{-1}=i\]
このように定めると次のことが成立します。
\( a>0\)のとき、\( – a \)の平方根は\( \pm \sqrt{- a}\)すなわち\( \pm \sqrt{a}i\)
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