今日から新しい単元【集合と論理】になります。しばらく、集合について学習していきます。感覚的な説明になってしまいますが、集合とは、”ある条件を満たすものを全部集めたもの”です。
例えば、”10以下の素数の全体の集まり”といったら，「2、3、5、７」となります。
高校数学では、全面的には現れませんが、集合論は現代の数学の基礎的な役割をしていきます。高校数学では、【集合と論理】の単元は、他の単元と関わって使われていくことが多いです。
集合と要素
まず、初めに言葉の説明をしていきます。
集合・要素：
集合とは、ある性質（条件）を満たすものの全体の集まりを１つのものと考えたもの。範囲のはっきりしたもの集まりのこと．大文字のA 、B、 C、….で表されることが多い。また，集合を構成している１つ１つのものを，その集合の要素といいます．小文字のa,b,c,…で表されることが多い。
例：集合・要素
- 1から10までの自然数のうち，偶数全体の集まりは集合で，その集合を\( \ A \ \)とすると，\( A\ \)は\( 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\ \)を要素とする集合になっています．
- 1から10までの自然数のうち，素数全体の集まりは集合で，その集合を\( \ P \ \)とすると，\( P\ \)は\( 2,\ 3,\ 5,\ 7\ \)を要素とする集合になっています．
- 「大きい数の集まり」は人によって100は大きいと考えたり，または，小さいと考えたりと範囲がはっきりしないので集合ではない．一方，「100より大きい自然数の集まり」は範囲がはっきりしているので集合となっています．
属する：
\( a\ \)が集合\( \ A \ \)の要素であるとき，\( a\ \)は集合\(\ A \ \)にaが集合Aの要素であることを、要素aは集合Aに属するといい[a\in A]または[A\ni a]と書きます。
また、bが集合Aの要素でないことを、要素bは集合Aに属さないといい[b\notin A]または[A\not\ni b]と書きます。
記号(\in)を使うときに向きを間違えないようにしてください。
常に集合の方に広がっています。
集合の表し方
集合を表す方法は、二種類あります。
（1）要素を書き並べる方法（外延的記法）
（2）要素の条件を述べる方法（内包的記法）
外延的記法・内包的記法という言葉は高校範囲ではないし、重要でもないので忘れても大丈夫です。
実際にどのように集合が表されるのかをみていこうと思います。
10以下の正の約数全体の集合をAとします。Aの要素は『１、２、５、１０』となります。
（1）要素を書き並べる方法
\[ A=\{ 1,2,5,10 \} \]
集合の要素を羅列させてそれを中括弧｛｝で囲みます。このとき、中括弧の代わりに小括弧（）、大括弧［］を代わりに使うことはできません。
（2）要素の条件を述べる方法
\[ A=\{ x｜xは10以下 \mathbf{の} 正 \mathbf{の} 約数 \} \]
｜の左側にAの要素の代表xで表して、｜の右側にxの満たす条件が入っている。（１）と同じで、中括弧｛｝で囲みます。
集合の表し方の補足
ここでは、例を使って集合の表し方の補足をしていこうと思います。
例）1000以下の正の整数（自然数）全体の集合をBとする
（1）要素を書き並べる方法
\[ B=\{ 1,2,3, \cdots ,1000 \} \]
要素を書く方法だと1000個も数字も書かないといけないことになります。このとき、一部分の要素のみ書いて\(\cdots\)を使って残りを省略することができます。この方法は、\(\cdots\)で省略された部分が推測できるとき（誰でも疑いなく何が省略されたかわかるとき）に限り使えます。また、\(\cdots\)をコンマ（，）で挟む必要があります。
NG(\(\cdots\)が，ではさまれていません)
\[ B=\{ 1,2,3 \cdots 1000 \} \]
NG(\(\cdots\)で何が省略されたか明らかではありません。もう少し要素を書き出す必要があります)
\[ B=\{ 1,\cdots ,1000 \} \]
（2）要素の条件を述べる方法
\[ B=\{ x|xは1000以下の正の整数\}\]
または
\[ B=\{ x|xは正の整数かつx ≦ 1000\}\]
または
\[ B=\{ x|xは整数かつ1≦ x ≦ 1000\}\]
と書いてもいいです。
このxは本質的な意味はなく、別の文字に置き換えても良い。そのときには、条件に入っているxも別の文字に置き換える必要がある。
\[ B=\{ y|yは1000以下の正の整数\}\]
例）5の正の倍数全体の集合をCとする
（1）要素を書き並べる方法
\[ C=\{ 5,10,15, \cdots \} \]
\(\cdots\)を使って要素が有限でないときも表すことができます。
（2）要素の条件を述べる方法
\[ C=\{ x|xは5の正の倍数\}\]
または
\[ C=\{ 5x|xは正の倍数\}\]
と書いてもいいです。
有限集合と無限集合
有限集合・無限集合：
有限個の要素からなる集合を有限集合といい、無限に多くの要素からなる集合を無限集合といいます。
まとめ
今回は、集合とは何かについて学習しました。
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