直角三角形では，3辺の長さの関係として，三平方の定理が成立しました。
ここでは，三平方の定理などを利用して，三角比\( \sin, \) \( \cos , \) \( \tan,\ \)の間に成り立つ関係を学習していきましょう。
三角比の相互関係
下の図の直角三角形において，
\( a=c\sin A,\ b= c \cos A \)
となります。
したがって，
\begin{align*} \tan A &= \frac{a}{b}\\ &=\frac{c\sin A }{c\cos A } \\ &= \frac{\sin A}{\cos A } \end{align*}
また，三平方の定理により，\( a ^{2} + b ^{2} =c ^{2} \)が成り立つので，
\( (c \sin A)^{2} + (c\cos A)^{2} =c ^{2} \)
が成り立つ。両辺を\( c ^{2} \)で割ると
\( ( \sin A)^{2} + (\cos A)^{2} =1 \)
となります。以上から，三角比の間に次の関係（公式）が成り立ちます。
\( \displaystyle \tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}} \ ,\ \ \ \ \sin ^{2} A + \cos ^{2} A=1\)
注意）ふつう，\( (\sin A)^{2} ， (\cos A)^{2} \) をそれぞれ\( \sin ^{2} A,\ \cos ^{2} A \)と書きます。
等式\(\ \sin ^{2} A + \cos ^{2} A=1\ \)の両辺を\(\ \cos ^{2} A \ \)で割ると
\( \displaystyle \left( \frac{\sin{A} }{\cos {A} }\right)^{2} + 1 =\frac{1}{ \cos^{2} A } \)
となります。 ここで，\( \displaystyle \frac{\sin{A} }{ \cos{A} }=\tan A \)であるので，次の公式が成立します。
\( \displaystyle 1 + \tan ^{2} {A}=\frac{1}{\cos ^{2} A} \)
注意）ふつう，\( (\tan A)^{2} \) を\( \tan ^{2} A \)と書きます。
90°-\(\theta \)の三角比
下の図の直角三角形において
\begin{align*} &\sin{B} =\frac{b}{c} \ \ ,\ &\cos A =\frac{b}{c} \\ & \cos{B} =\frac{a}{c}\ \ ,\ &\sin A =\frac{a}{c} \\ &\tan{B} =\frac{b}{a}\ \ ,\ & \tan A =\frac{a}{b} \end{align*}
ここで，\( B=90 ^{\circ} -A \)であるので，次の関係（公式）が成り立ちます。
\begin{align*} \sin (90°-A)&=\cos A\\ \\ \cos (90 ^{\circ} -A) &=\sin{A}\\ \\ \tan {(90 ^{\circ} – A)}&=\frac{1}{\tan{A}} \end{align*}
この公式を用いると，鋭角の三角比を\( 45 ^{\circ} \)以下の角の三角比で表すことができます。
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