さて、これから新しい単元「正の数・負の数」を学習していくことになります。正の数とは0より大きい数のことです。今まで学習してきた数は3とか1.５とか0より大きい数が中心でした。ここからは、０より小さい数「負の数」を学習することになります。今までは、正の数の計算を学習してきましたが、負の数の計算を学習していきます。計算の仕方を理解するだけでなく、しっかり計算を間違いなく計算する力が必要になってきます。そのためには、今までの計算をしっかりできていないといけないので、ここでは、今までの計算の復習をしていきましょう。
分数と小数
約分・通分・逆数
分母と分子を、それらの公約数で割って、分母の小さい分数にすることを約分するといいます。
例）\( \displaystyle \frac{2}{4} \)
2は分母の4と分子の2の公約数なので分母と分子をそれぞれ2で割ると
\( \displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)であることが分かります。
例）\( \displaystyle \frac{12}{20} \)
2は分母の20と分子の12の公約数なので分母と分子をそれぞれ2で割ると
\( \displaystyle \frac{12}{20}=\frac{6}{10} \)であることが分かります。
さらに，2は分母の6と分子の10の公約数なので分母と分子をそれぞれ2で割ると
\( \displaystyle \frac{12}{20}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \)であることが分かります。
分母が異なる分数を、それぞれの大きさを変えないで、共通の分母にすることを通分すると言います。
例）\( \displaystyle \frac{2}{3},\ \frac{1}{4} \)
\( \displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{8}{12} , \)
\( \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1 \times 3}{4 \times 3}=\frac{3}{12} \)
例）\( \displaystyle \frac{5}{6},\ \frac{9}{10} \)
\( \displaystyle \frac{5}{6}=\frac{5 \times 5}{6 \times 5}=\frac{25}{30} , \)
\( \displaystyle \frac{9}{10}=\frac{9 \times 3}{10 \times 3}=\frac{27}{30} \)
２つの数の積が1になるとき、一方の数をもう一方の逆数という。
分数\( \displaystyle \frac{b}{a} \)の逆数は分母と分子を入れ替えた分数\( \displaystyle \frac{a}{b} \)である。
例）\( \displaystyle \frac{8}{5} \)
\( \displaystyle \frac{8}{5} \)の逆数は分母と分子を入れ替えたものなので、\( \displaystyle \frac{5}{8} \)となります
例）\( \displaystyle \frac{1}{3} \)
\( \displaystyle \frac{1}{3} \)の逆数は分母と分子を入れ替えたものなので、\( \displaystyle \frac{3}{1} =3\)となります
例）\( 2 \)
\( \displaystyle 2=\frac{2}{1} \)
なので2の逆数は
\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
となります
分数の足し算・引き算
分数のたし算・ひき算を計算するときは通分をして計算します。計算後に約分できるときは約分します。
例）\( \displaystyle \frac{2}{3}+ \frac{1}{4} \)
\begin{align*} \frac{2}{3} + \frac{1}{4} &= \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3}\\ &=\frac{8}{12} + \frac{3}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{align*}
例）\( \displaystyle \frac{2}{5}- \frac{1}{3} \)
\begin{align*} \frac{2}{5} – \frac{1}{3} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 3} – \frac{1 \times 5}{3 \times 5}\\ &=\frac{6}{15} – \frac{5}{15} \\ &= \frac{1}{15} \end{align*}
分数の掛け算
分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしをそれぞれかけることで計算をすることができます
例）\( \displaystyle \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \)
\begin{align*} \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} &=\frac{3 \times 2}{4 \times 3}\\ &= \frac{2}{4}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}
例）\( \displaystyle \frac{3}{5} \times \frac{1}{6} \)
\begin{align*} \frac{3}{5} \times \frac{1}{6} &=\frac{3 \times 1}{5 \times 6}\\ &= \frac{1}{5 \times 2}\\ &= \frac{1}{10} \end{align*}
分数の割り算
分数の割り算は、割る数の逆数をかけることで計算することができます。
\begin{align*} \frac{b}{a} \div \frac{c}{d} &= \frac{b}{a} \times \frac{d}{c} \\ &=\frac{b \times c}{a \times d} \end{align*}
例）\( \displaystyle \frac{3}{4}\div \frac{3}{2} \)
\begin{align*} \frac{3}{4}\div \frac{3}{2} &= \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\\ &=\frac{3 \times 2}{4 \times 3}\\ &= \frac{2}{4}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}
例）\( \displaystyle \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} \)
\begin{align*} \frac{1}{2}\div \frac{1}{4} &= \frac{1}{2}\times \frac{4}{1}\\ &=\frac{1 \times 4}{1 \times 1}\\ &= \frac{4}{1}\\ &= 4 \end{align*}
計算の順番
①かっこの中
② \( \times ,\ \div \)
③ \(+ ,\ – \)
の順で計算する。また、たし算どうし、かけ算どうしは計算する順序を変えても同じ答えになる。
\begin{align*} 3 + 4 \times (2 + 3)&= 3 + 4 \times 5 \\ &= 3 + 20 \\ &= 23 \end{align*}
例）\( 2.7 + 1.5 + 2.3\)
\begin{align*} 2.7 + 1.5 + 2.3 &= 2.7 + 2.3+ 1.5 \\ &= 5 + 1.5 \\ &= 6.5 \end{align*}
例）\(2 \times 13 \times 5 \)
\begin{align*} 2 \times 13 \times 5 &= 2 \times 5 \times 13 \\ &= 10 \times 13 \\ &= 130 \end{align*}
分配法則
分配法則を使うと計算を簡単にすることができる場合があります
例）\( 97 \times 3\)
\begin{align} 97 \times 3 &= (100-3) \times 3 \\ &= 100 \times 3 -3 \times 3 \\ &= 300-9 \\ &=291 \end{align}
例）\( 5 \times 5 \times 3.14 -3 \times 3 \times 3.14\)
\begin{align} & 5 \times 5 \times 3.14 -3 \times 3 \times 3.14 \\ &= (5 \times 5 -3 \times 3) \times 3.14 \\ &= (25-9) \times 3.14 \\ &= 16 \times 3.14 \\ &= 50.24 \end{align}
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