【大学数学】数ベクトル空間【線型代数学】

n個の実数\(\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \)を順序付けて並べた組をn項数ベクトルをいい、各々の実数\(\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \)をその成分と言います。

n個の実数\(\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \)を順序付けて並べた組をn項数ベクトルをいい、各々の実数\(\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \)をその成分と言います。

２つの数ベクトル\[ \boldsymbol{\mathrm{a}}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix},\ \ \ \ \boldsymbol{\mathrm{b}}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n’} \\ \end{pmatrix}\]はその次元数\( n,\ n’\)が等しく，かつその対応する成分が等しい時、またその時に限って等しいと言います。 

同じ次元の数ベクトル(n次元)\[ \boldsymbol{\mathrm{a}}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix},\ \ \ \ \boldsymbol{\mathrm{b}}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix}\]に対して，次の２つの演算を定義する．
（1）加法
\[ \boldsymbol{\mathrm{a}}+ \boldsymbol{\mathrm{b}}=\begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \\ \end{pmatrix}\]これを\( \ \boldsymbol{\mathrm{a}}  \) と\(\ \boldsymbol{\mathrm{b}}  \)の和と言います． 

（2）減法
\[ \boldsymbol{\mathrm{a}}-  \boldsymbol{\mathrm{b}}=\begin{pmatrix} a_1 –  b_1 \\ a_2 –  b_2 \\ \vdots \\ a_n – b_n \\ \end{pmatrix}\]これを\( \ \boldsymbol{\mathrm{a}}  \) と\(\ \boldsymbol{\mathrm{b}}  \)の差と言います． 

（3）スカラー乗法　（\( \ c\ \)を任意の数とする）
\[ c\boldsymbol{\mathrm{a}}=\begin{pmatrix} ca_1 \\ ca_2  \\ \vdots \\ ca_n  \\ \end{pmatrix}\]これを\( \ \boldsymbol{\mathrm{a}}  \) の\( \ c\ \)倍と言います。 

\( \ n\ \)次元数ベクトル\( \boldsymbol{\mathrm{v}}_1,\ \boldsymbol{\mathrm{v}}_2,\ \cdots ,\ \boldsymbol{\mathrm{v}}_r\)とスカラー\( k_1,\ k_2,\  \cdots ,\ k_r\)に対して、\[ k_1\boldsymbol{\mathrm{v}}_1 +k_2\boldsymbol{\mathrm{v}}_2 + \cdots + k_r\boldsymbol{\mathrm{v}}_r \]をベクトル\( \boldsymbol{\mathrm{v}}_1,\ \boldsymbol{\mathrm{v}}_2,\ \cdots ,\ \boldsymbol{\mathrm{v}}_r\) の一次結合と言います．

\( n \)次元数ベクトル空間\( R^n\)において，次の\( n \)個の列ベクトル\[ \boldsymbol{\mathrm{e}}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix},\ \ \ \ \boldsymbol{\mathrm{e}}_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix},\ \cdots  ,\       \boldsymbol{\mathrm{e}}_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}           \]を基本ベクトルという。