方程式における実数の解を，単に実数解といいます．ここでは，２次方程式の実数解の個数について学習します．
2次方程式の実数解の個数
次の３つの２次方程式が，実数解をそれぞれいくつもつかを調べてみます．
\begin{aligned}x^{2}-4x+3&=0\cdots ①\\ x^{2}-4x+4&=0\cdots ②\\ x^{2}-4x+5&=0\cdots ③\end{aligned}
①は，左辺を因数分解すると
\begin{aligned}\left( x-1\right) \left( x-3\right) =0\end{aligned}
となり，\( x=1,\ 3\ \)という異なる２つの実数解をもつ．
②は，左辺を因数分解すると
\begin{aligned}\left( x-2\right) ^{2}=0\end{aligned}
となり，\( x=2\ \)という１つの実数解をもつ．この解は，２次方程式の２つの十数階が重なったものと考えることができ，これを重解という．
③は，左辺を変形すると
\begin{aligned}\left( x-2\right) ^{2}+1=0\end{aligned}
となり，左辺はつねに１以上であるので，等式は成り立たない．よって，③は実数解を持たない．
まとめると
となる．
より一般ではどうなっているのかを見るために，解の公式を通してみていく．
２次方程式\( \ ax^2+bx+c=0 \ \)の実数解の個数を考える．
【1】\( b ^{2} -4ac>0\ \)のとき，解は
\begin{aligned}\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},\ \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}
であり，これらは異なる２つの実数解である．
【2】 \( b ^{2} -4ac=0\ \)のとき，解は
\begin{aligned}-\dfrac{b}{2a}\end{aligned}
であり，これはただ１つの実数解である．この場合は，２つの解が重なったものと考えて，この実数解を重解という．
【3】\( b ^{2} -4ac<0\ \)のとき，この２次方程式は実数解をもたない．
一般に，２次方程式の実数解の個数は，解の公式
の根号の中の式
\(\ b ^{2}-4ac\ \ \)
の符号によって決まる．
2次方程式の判別式：
を２次方程式の判別式といい，記号\(\ \mathbf{D}\ \)で表す．つまり，\( \mathbf{D}=b ^{2}-4ac\)
＊\(\ \mathbf{D}\ \)は判別式を意味するDiscriminantの頭文字
２次方程式の実数解の個数：
２次方程式\(\ ax^2+bx+c=0 \ \)の判別式を\(\ D\ \)とすると
- \( D>0 \)\( \iff\)異なる２つの実数解をもつ
- \( D=0\)\( \iff\)１つの実数解（重解）をもつ
- \( D<0\)\( \iff\)実数解をもたない
例：
２次方程式\( \ \ \)
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