【高校数学】ベクトルの内積【ベクトル】

\(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0} \) ，\(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0} \)とする．\(\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{b} \)のなす角を\( \theta\)とすると \begin{align*} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \end{align*} \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \)または\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \)のときは \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) と定める．

\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\ \overrightarrow{b}=(b_1,b_2) \)のとき \begin{align*} &\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= a_1b_1+a_1b_2\end{align*}

\( \overrightarrow{0}\)でない2つのベクトル\(\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2),\ \overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2) \)のなす角を\( \theta\)とする．このとき，以下が成立する． \begin{align*} \cos \theta &=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}\\ &=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_{1}^{2}a_{2}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}b_{2}^{2}}}\\ & ただし，0^{\circ}\le\theta \le 180^{\circ} \end{align*}

\begin{align*} &(1) k(\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}) =\overrightarrow{a}\cdot (k\overrightarrow{b}) kは実数\\ &(2) \overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\\ &(3) (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} \end{align*}

\begin{align*} &(1)|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2 \\ &(2)|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2 \\ &(3) (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})= |\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2 \end{align*}