今日は、”相加平均と相乗平均の関係”と呼ばれる不等式を学習します。この不等式は大学入試でもよく出てくる有名な不等式です。さっそく、どのような不等式か見てみたいと思います。
相加平均と相乗平均の関係
\( a>0,\ b>0 \ \)のとき，\( \displaystyle \frac{a +b }{2}\ge \sqrt{ab}\ \ \)等号が成立するのは，\( a=b\ \)のときである．
相加平均と相乗平均って何？
3と5の平均というと3+5を２で割って4というように、2数の平均というのは足して2で割ることですが、数学では、かけて平方根をとるということも平均と考えます。前者を相加平均、後者を相乗平均といいます。
\( a\ge 0,\ b\ge 0 \ \)とする．\( \displaystyle \frac{a +b }{2}\ \ \)を相加平均，\( \displaystyle \sqrt{ab}\ \ \)を相乗平均といいいます．
では、次に実際に相加平均と相乗平均を求めてみましょう。
2と18の相加平均は、\(\displaystyle \frac{2 + 18}{2}=10 \)である．また，2と18の相乗平均は\(\sqrt{2\cdot 18} =\sqrt{36}=6\)となる．
相加平均と相乗平均の関係（証明）
次に相加平均と相乗平均の関係を証明していきましょう。
\( a>0,\ b>0 \ \)のとき，\( \displaystyle \frac{a +b }{2}\ge \sqrt{ab}\ \ \)等号が成立するのは，\( a=b\ \)のときである．
証明）
\begin{align*} \mbox{(左辺)}-\mbox{(右辺)} &=\frac{a + b}{2}-\sqrt{ab} \\ &=\frac{1}{2} ( a + b – 2 \sqrt{ab}) \\ &=\frac{1}{2} \{ (\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 – 2 \sqrt{ab}\} \\ &=\frac{1}{2} ( \sqrt{a} – \sqrt{b} )^2 \ge 0\\ \end{align*} したがって、\( \displaystyle \frac{a +b }{2}\ge \sqrt{ab}\ \ \)が成立する。 等号が成立するのは、\( \sqrt{a}-\sqrt{b}=0 \ \)．つまり\(a=b\ \)のときのみである．注意）この不等式は\(a> 0,\ b>0 \ \)を \( a\ge 0,\ b\ge 0 \ \)としても成立する．また，この不等式は\( a + b \ge 2 \sqrt{ab} \ \)の形でも使われる．
例題
この記事は書きかけです。
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