【高校数学】置換積分〜\( \tan\theta\ \)を使った置換積分〜

前回は、\( \sin\theta\ \)とおいて置換積分するタイプの計算をしました。

ここでは、\( \tan\theta\ \)を使うタイプの積分の計算の仕方を学習しましょう。

少し、天下り的になりますが定期テストや受験では頻出の重要事項になりますので頑張って下さい。

\( \tan\theta\ \)を使った置換積分

\(x=\tan \theta\ \)と置く。 このとき、 \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{{\cos}^2\theta}\)である。

区間\(\displaystyle \ \ – \frac{\pi}{2} < x <\frac{\pi}{2}\)で、 \(x \)と\(\theta \ \)の対応は以下のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \rightarrow & 1 \\ \hline \theta & 0 & \rightarrow & \displaystyle\frac{\pi}{4} \end{array} ここで、 \begin{align*} 1+x^2 &= 1+{\tan\theta}^2 \\ &= \frac{1}{{\cos\theta}^2}\\ \end{align*} したがって、 \begin{align*} \frac{1}{1+x^2} &= {\cos\theta}^2\\ \end{align*} となる。

求めたい定積分を計算していくと、 \begin{align*} \int_0^{1} \frac{1}{x^2+1} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} {\cos\theta}^2\cdot \frac{dx}{d \theta} \ d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} {\cos\theta}^2\cdot \frac{1}{{\cos\theta}^2} \ d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align*}