【高校数学】置換積分〜\( \sin\theta\ \)を使った置換積分〜

ここでは、\(\sin\theta\)を使った置換積分を学習します。技巧的な置換積分ではありますが、定期テストや受験では必須になりますので、抑えていきましょう。

\( \sin\theta\ \)を使った置換積分

\(x=\sin \theta\ \)と置く。 このとき、 \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}= \cos\theta\ \)である。

区間\(\displaystyle \ \ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)で、 \(x \)と\(\theta \ \)の対応は以下のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \rightarrow & 1 \\ \hline \theta & 0 & \rightarrow & \displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} ここで、 \begin{align*} \sqrt{1-x^2} &= \sqrt{1-\sin^2\theta} \\ &= \sqrt{\cos^2\theta}\\ &= | \cos\theta|\\ \end{align*} 区間\(\displaystyle \ \ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)で、 \(\displaystyle \cos\theta \ge 0 \) なので、 \begin{align*} \sqrt{1-x^2} &= \cos\theta　\\ \end{align*} となる。

求めたい定積分を計算していくと、 \begin{align*} \int_0^{1} \sqrt{1-x^2} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \cdot \frac{dx}{d \theta} \ d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\cdot \cos\theta\ d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2 \theta \right] ^\frac{\pi}{2}_{0}\\ &= \frac{\pi}{4} \end{align*}