【大学入試】\( \log_{2}3\ \)が無理数であることを証明せよ

方針

背理法を使って証明します。

解答

（１）背理法を使って証明する．

\( \log_{2}3\)が有理数であると仮定する．

今，\(\log_{2}3 >0\)なので、自然数\( m,n\)を用いて

\( \log_{2}3=\frac{m}{n}\)

と表すことができる。

よって、\(3=\displaystyle 2^{\frac{m}{n}}\)

したがって、\( 3^n=2^m\)

これは、素因数分解の一意性に矛盾する。

よって、\( \log_{2}3\)は無理数である。

（２） \begin{align*} \log_2{6}&=\log_2(2\cdot 3)\\&=\log_{2}2+\log_{2}3\\ &=1+\log_{2}3\end{align*}

よって、\( \log_{2}6-1=\log_{2}3\)

\( \log_{2}6\)が有理数であると仮定すると

\( \log_{2}6-1\)は有理数であるが、

これは（１）の\(\log_{2}3 \)が無理数であることに矛盾する。

よって、\( \log_{2}6\)は無理数である。

（３）

\begin{align*} \log_6{8}&=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}6}\\&=\frac{3}{\log_{2}6}\end{align*}

よって、\( \displaystyle \log_{2}6=\frac{3}{\log_{6}8}\)

\( \log_{6}8\)が有理数であると仮定すると

\(\displaystyle \frac{3}{\log_{6}8}\)は有理数であるが、

これは（２）の\(\log_{2}6 \)が無理数であることに矛盾する。

よって、\( \log_{6}8\)は無理数である。

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