数Iでは、2次式の展開と因数分解を学習しました。ここでは、３次式の展開と因数分解について学習していきます。その前に以前の学習した内容を復習しましょう。
2次式の展開と因数分解を復習
3次式の展開
ここでは，3次式の展開公式を学習していきます。
\( (a + b)^{3} \)を展開すると，次のようになります。
\begin{align*} (a + b) ^{3} &=(a + b)^{2} (a + b)\\ &= (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )(a + b) \\ &= (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )a + (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )b \\ &= a ^{3} + 2a ^{2} b + a b ^{2} + a ^{2} b + 2a b ^{2} + b ^{3} \\ &= a ^{3} + 3 a ^{2} b + 3 a b ^{2} + b ^{3} \end{align*}
\begin{align*} (a + b) ^{3} &=(a + b)^{2} (a + b)\\ &= (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )(a + b) \\ &= (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )a + (a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )b \\ &= a ^{3} + 2a ^{2} b + a b ^{2} + a ^{2} b + 2a b ^{2} + b ^{3} \\ &= a ^{3} + 3 a ^{2} b + 3 a b ^{2} + b ^{3} \end{align*}
\begin{align*} (1)&\ \ \ (a + b)^{3} =a ^{3} + 3a ^{2} b + 3 a b ^{2}+ b ^{3} \\ (2)&\ \ \ (a – b)^{3} =a ^{3} – 3a ^{2} b + 3 a b ^{2} – b ^{3} \end{align*}
\begin{align*} (1)&\ \ \ (a + b)( a ^{2} – ab + b ^{2} ) =a ^{3} + b ^{3} \\ (2)&\ \ \ (a – b)(a ^{2} + ab + b ^{2} ) =a ^{3} – b ^{3} \end{align*}
3次式の因数分解
\begin{align*} (1)&\ \ \ a ^{3} + b ^{3}= (a + b)( a ^{2} – ab + b ^{2} )\\ (2)&\ \ \ a ^{3} – b ^{3}= (a – b)(a ^{2} + ab + b ^{2} ) \end{align*}
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