【数A】三角形の重心・外心・垂心・内心・傍心【図形の性質（第2回）】

三角形の重心

三角形の頂点と対辺の中点を結んだ線分を中線といいます。

三角形の3本の中線の交点を，その三角形の重心といいます。

三角形の外心

上の証明より，\( OA=OB=OC\)であるので，点\( O\)は3つの頂点から等距離になっている。よって，\( O\)を中心として3つの頂点を通る円を三角形の外接円といい，その中心を三角形の外心といいます。

三角形の垂心

三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした3本の垂線の交点を，その三角形の垂心といいます。

三角形の内心

上の証明より，\( ID=IE=IF\)であるので点\( I\)は3点\( D,\ E,\ F\)から等距離にある。よって，点\( I\)を中心として\( D,\ E,\ F\)を通る円をかくことができます。この円は三角形の3辺に接しているので，三角形の内接円といい，その中心\( I\)を三角形の内心といいます。内心は，3辺からの距離が等しい点である。

三角形の傍心

上の証明における交点\( J\)を\( \triangle ABC\)の\( \angle A\)に対する傍心といいます。この傍心\( J\)は，頂点\( B,\ C\)における外角の二等線分上にあるので，\( J\)を中心にして\( BC\)および\( AB,\ AC\)の延長線に接する円をかくことができます。この円を，\( \triangle ABC\)の\(\angle A\)に対する傍接円といいます。
\( \triangle ABC\)の\( \angle B,\ \angle C\)に対する傍心と傍接円もそれぞれ1つずつあります。

三角形の五心

三角形の重心，外心，垂心，内心，傍心を合わせて三角形の五心といいます。