(1)次の式を有理化しなさい． \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2} }{\sqrt{3} -\sqrt{2} }\ \ \ \ \ \) (筑波技術大学（２０２１年）)
\(0\leq\theta < 2\pi \ \)のとき，関数\( y=\sqrt{2} (\sin{\theta} +\cos{\theta} )-2 \sin{\theta} \cos{\theta} + 5\ \)を考える．また，\(t=\sin{\theta} +\cos{\theta} \ \)とおく．
(1)\(t \ \)の値の範囲を求めよ．
(2)\( y\ \)を \(t \ \)を用いて表せ．
(3)\(y \ \)の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの\( \theta\ \)の値を求めよ．
(東京海洋大学（２０２１年）)
２次方程式\(\ x^2-2x+4=0\ \)の２つの解を\( \ \alpha,\ \beta\ \)とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 多項式\(\ x^3+8 \ \)を実数を係数とする１次式と２次式の積に因数分解しなさい．
(2) \(\ \alpha ^2+\beta ^2\ \)の値を求めなさい．
(3) \(\ \alpha ^3+\beta ^3\ \)の値を求めなさい．
(4) \(\ \alpha ^{10}+\beta ^{10}\ \)の値を求めなさい．
(福島大学（２０２１年）)
関数\( f(x)= |x^2-1| \) に対し，\( \displaystyle F(a)= \int^{a + 1}_{a} f(x)\ \ dx\) とする．ただし，\( a>0\ \) とする．以下の問いに答えよ．
(1) 関数\( y=f(x)\) のグラフをかけ．
(2) \(F(a) \) を求めよ．
(3) \(F(a) \) の最小値およびそのときの\( a\) の値を求めよ．
(はこだて未来大学（2015年）)
\( a,\ b\ \)を実数とする．また，実数\( \ x\ \)に対する2つの条件\( \ x(x^2+ ax + b)=0 \ \)と\(\ x=0\ \)が，互いに同値であるとする．このとき，\( \ a\ \)と\(\ b\ \)がみたす関係を求め，点\(\ (a,\ b)\ \)が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(はこだて未来大学（2015年）)
方程式\( \ 20\cdot 15^{-x}+ 225^x -21 =0\ \)を解け．
(はこだて未来大学（2015年）)
以下の問いに答えよ．
(1) 正弦，余弦に関する加法定理 \[ \left\{\begin{align} \sin (\alpha + \beta) &=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha + \beta) &=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \end{align}\right. \] を用いて等式\(\ \sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x} \ \)を証明せよ．
(2) 関数\(\ y=\sin{3x}+ 3\cos 2x + 6\sin x \ (0\leq x < 2\pi \ ) \ \)の最大値・最小値，およびそのときの\(\ x\ \)の値をすべて求めよ．
(はこだて未来大学（2015年）)
3次関数\(f(x)=x^3 -3 x^2-9x \) は\( x=p\) で極大となり，\(x=q \) で極小となる．曲線\( C:y=f(x)\) 上の2点\((p,f(p)) \) ，\((q,f(q)) \) をそれぞれ\(P \) ，\(Q \) とする．このとき， 次の各問いに答えよ．
(1) \( p\) と\(q \) の値を求めよ．
(2) 2点\( P\) ，\( Q\) の中点\(M \) の座標を求め，\(M \) が\(C \) 上にあることを示せ．
(3) \( M\) における\(C \) の接線の方程式を\(y=ax + b \) とするとき，\(a \) と\(b \) の値を求めよ．また，関数 \begin{align*} g(x)&=f(x)-(ax + b) \end{align*} はつねに増加していることを示せ．
(大阪電気通信大学（2017年）)
\( a\) ，\(b \) を定数とする．関数\(f(x)=ae^x + b e^{-x} \) が\(x=1 \) で極小値\( 2e\) をとるとき，次の各問いに答えよ．
(1) \( a\)と\(b \)の値を求めよ．
(2) 曲線\( y=f(x)\)，直線\(y=2e \)および\( y\) 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(大阪電気通信大学（2017年）)
四角形\( ABCD \) において，辺\( AD\) と辺\( BC \)が平行．\( \angle BAD ={120}^\circ \) ，\( AB=2\)，\( AD=2\)，\( BC=3\)とする．辺\( BC\)を\( 1:2\)に内分する点を\( E\)，\( CD\)の中点を\( F\)とし，線分\( AC\)と\( EF\)の交点を\( G\)とする．\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\( \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)とするとき，次の各問いに答えよ．
(1) \( \overrightarrow{AE}\) ，\( \overrightarrow{AF}\)を\( \overrightarrow{a}\)，\( \overrightarrow{b}\)を用いて表せ．
(2) \( \overrightarrow{AG}\)を\( \overrightarrow{a}\)，\( \overrightarrow{b}\)を用いて表せ．
(3) \( |\overrightarrow{AG}|\)を求めよ．
(大阪電気通信大学（2017年）)
\(x,\ y, \ z \ge 0 \)とする．このとき，以下の不等式が成立する． （1)〜(3)を示せ． \begin{align*} \frac{x + y + z}{3}&\ge \sqrt[3]{xyz} \end{align*} （等号が成立するのは，\( x=y=z\ \)のとき）
(1) \( a^3 + b^3 + c^3 -3abc \ \)を因数分解しなさい．
(2) \( a,\ b, \ c\ \)を実数とする．このとき，\( a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ca \ge 0 \)を示しなさい．
(3) \(x,\ y, \ z \ge 0 \)とする．このとき，以下の不等式が成立することを示せ． \begin{align*} \frac{x + y + z}{3}&\ge \sqrt[3]{xyz} \end{align*} （等号が成立するのは，\( x=y=z\ \)のとき）．
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